Três soluções de uma certa equação diferencial linear de
ordem normal não homogênea são
e
. Determine a solução geral dessa equação. (Dica: identificar duas soluções linearmente independentes para compor a solução geral.)
Passo 1
O enunciado dá três soluções de uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem:
Como a solução geral de uma ODE linear não homogênea de segunda ordem é
onde
é a solução geral da homogênea e
é uma solução particular, vamos identificar duas soluções independentes de
tomando diferenças entre as particulares dadas.
Passo 2
Calculemos a diferença
Logo,
satisfaz a equação homogênea associada.
Passo 3
Para obter outra solução da homogênea, note que
Portanto, a constante
também resolve a equação homogênea.
Passo 4
As duas soluções encontradas são linearmente independentes e formam a base da homogênea:
Como
é uma solução particular, a solução geral da equação não homogênea é
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.