Três soluções de uma certa equação diferencial linear de 2^a ordem normal não homogênea são y1(x)=x^2, y2(x)=x^2+e^2 x e y3(x)=1+x^2+2 e^2 x. Determine a solução geral dessa equação. (Dica: identificar duas soluções linearmente independentes para compor a solução geral.)

Passo 1

O enunciado dá três soluções de uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem:
y1(x)=x^2, y2(x)=x^2+e^2x, y3(x)=1+x^2+2e^2x
Como a solução geral de uma ODE linear não homogênea de segunda ordem é
y(x)=yc(x)+yp(x),
onde yc é a solução geral da homogênea e yp é uma solução particular, vamos identificar duas soluções independentes de yc tomando diferenças entre as particulares dadas.

Passo 2

Calculemos a diferença
y2(x)-y1(x) = (x^2+e^2x) - x^2 = e^2x
Logo, e^2x satisfaz a equação homogênea associada.

Passo 3

Para obter outra solução da homogênea, note que
y3(x)-2,y2(x)+y1(x) = l(1+x^2+2e^2xr) -2l(x^2+e^2xr) + x^2 =1
Portanto, a constante 1 também resolve a equação homogênea.

Passo 4

As duas soluções encontradas são linearmente independentes e formam a base da homogênea:
yc(x)=C1e^2x + C2cdot1
Como y1(x)=x^2 é uma solução particular, a solução geral da equação não homogênea é
y(x)=yc(x)+yp(x) = C1e^2x + C2 + x^2

Resposta

y(x)=C1e^2x + C2 + x^2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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