Três soluções de uma equação diferencial linear de 2^a ordem normal y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=g(x) são: y1(x)=3 e^x+e^x^2, y2(x)=7 e^x+e^x^2 e y3(x)=5 e^x+e^-x^3+e^x^2. Determine a solução que atenda às condições iniciais y(0)=1 e y^prime(0)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá três soluções particulares de uma equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
y''+p(x)y'+q(x)y=g(x),
a saber
y1(x)=3e^x+e^x^2, y2(x)=7e^x+e^x^2, y3(x)=5e^x+e^-x^3+e^x^2
Como é linear de segunda ordem, a solução geral é
y(x)=yp(x)+yh(x),
onde yp é uma particular e yh é a combinação linear das duas soluções de homogênea que extraímos subtraindo pares de soluções particulares.

Passo 2

Calculemos as diferenças para achar a base do espaço das soluções homogêneas:
y2-y1=(7e^x+e^x^2)-(3e^x+e^x^2)=4e^x,
y3-y1=(5e^x+e^-x^3+e^x^2)-(3e^x+e^x^2)=2e^x+e^-x^3
Daí vemos que soluções da homogênea são
e^x e e^-x^3

Passo 3

Tomando y1 como particular, a solução geral é
y(x)=y1(x)+A,e^x+B,e^-x^3 =3e^x+e^x^2+A,e^x+B,e^-x^3

Passo 4

Impondo as condições iniciais:
  1. y(0)=1
3cdot1+1 +Acdot1 +Bcdot1=1 Longrightarrow A+B=-3
  1. Calculemos
y'(x)=(3+A)e^x +2x,e^x^2 -3B,x^2,e^-x^3
Em x=0 isso vira
y'(0)=(3+A)cdot1 =2 Longrightarrow A=-1,
e daí B=-3-(-1)=-2.

Passo 5

Substituindo A=-1 e B=-2 na expressão geral, obtemos
y(x) =(3-1)e^x + e^x^2 -2e^-x^3 =2e^x + e^x^2 -2e^-x^3

Resposta

y(x)=2e^x + e^x^2 -2e^-x^3

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