06.Calcular a equação da parábola de vértice no ponto (2,2),que passa pelo ponto P=(4,1) e cujo eixo focal está sobre a reta y=\frac{1}{2}+\frac{3}{4} x
\text { Resp: } 9 x^{2}+16 y^{2}-24 x y-68 x-76 y+284=0

SUGESTÃO:

Vide exercício precedente.

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola cujo vértice é V=(2,2), que passa por P=(4,1) e cujo eixo focal (eixo de simetria) coincide com a reta
y = \tfrac12 + \tfrac34 x.
O conteúdo aqui é usar uma translação para trazer o vértice à origem e uma rotação de eixos para alinhar o eixo da parábola ao novo eixo X, de modo que a curva fique na forma padrão
Y^2 = 4p\,X.

Passo 2

Fazemos primeiro a translação para o vértice:
x_1 = x - 2,\quad y_1 = y - 2.
Em seguida, escolhemos o ângulo \theta de modo que o novo eixo X fique na direção da reta y = \tfrac12 + \tfrac34 x. Essa reta tem coeficiente angular m = \tfrac34, portanto
\tan\theta = \tfrac34,\quad \cos\theta = \tfrac45,\quad \sin\theta = \tfrac35.
A rotação de eixos é dada por
X = x_1\cos\theta + y_1\sin\theta,\quad Y = -\,x_1\sin\theta + y_1\cos\theta.

Passo 3

Aplicamos essas fórmulas ao ponto P=(4,1). Primeiro a translação:
x_1(P)=4-2=2,\quad y_1(P)=1-2=-1.
Depois a rotação:
X_P = 2\cdot\tfrac45 +(-1)\cdot\tfrac35 = \tfrac{8-3}{5} = 1,
Y_P = -2\cdot\tfrac35 +(-1)\cdot\tfrac45 = \tfrac{-6-4}{5} = -2.

Passo 4

Na forma padrão Y^2 = 4p\,X devemos ter
Y_P^2 = 4p\,X_P \quad\Longrightarrow\quad (-2)^2 = 4p\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad p = 1.
Logo a equação da parábola nos eixos girados é
Y^2 = 4X.

Passo 5

Voltemos aos eixos originais. Substituímos
X = \tfrac45\,x_1 + \tfrac35\,y_1, \quad Y = -\,\tfrac35\,x_1 + \tfrac45\,y_1,
na equação Y^2 = 4X. Multiplicando ambos os lados por 25 para eliminar denominadores, obtemos
(-3x_1 + 4y_1)^2 = 80\,x_1 + 60\,y_1.
Agora expandimos com x_1 = x-2 e y_1 = y-2 e passamos tudo para o lado esquerdo. O resultado, após reunir termos semelhantes, é
9x^2 +16y^2 -24xy -68x -76y +284 = 0.

Resposta

A equação da parábola procurada é
9x^2 +16y^2 -24xy -68x -76y +284 = 0.

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