06.Calcular a equação da parábola de vértice no ponto (2,2),que passa pelo ponto P=(4,1) e cujo eixo focal está sobre a reta y=\frac{1}{2}+\frac{3}{4} x
\text { Resp: } 9 x^{2}+16 y^{2}-24 x y-68 x-76 y+284=0

SUGESTÃO:

Vide exercício precedente.

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola de vértice em (2,2), que passa por P=(4,1) e cuja reta eixo focal é
y = \tfrac12 + \tfrac34 x.
Como essa reta passa pelo vértice e tem coeficiente angular m=\tfrac34, seu vetor diretor é (4,3). Vamos resolver trocando para coordenadas (u,v) em que o eixo u coincide com esse vetor diretor (e o eixo v é perpendicular), de modo a usar a forma padrão da parábola.

Passo 2

Definimos o novo sistema centrado no vértice (2,2), com eixo u na direção (4,3) (de comprimento 5) e eixo v perpendicular, direção (-3,4). Assim
u \;=\;\frac{4\,(x-2)\;+\;3\,(y-2)}{5}, \qquad v \;=\;\frac{-3\,(x-2)\;+\;4\,(y-2)}{5}.

Passo 3

Nessas coordenadas, o vértice vira (0,0) e a parábola, cujo eixo de simetria é o eixo u, tem equação padrão
v^2 \;=\; 4\,p\,u,
onde p é a distância focal.

Passo 4

Usamos o ponto P=(4,1). Calculamos
u_P = \frac{4\cdot(4-2) + 3\cdot(1-2)}{5} = \frac{8-3}{5} = 1, \qquad v_P = \frac{-3\cdot(4-2)+4\cdot(1-2)}{5} = \frac{-6-4}{5} = -2.
Substituindo em v^2 = 4 p\,u
(-2)^2 = 4\,p\cdot1 \;\Longrightarrow\; 4 = 4p \;\Longrightarrow\; p = 1.

Passo 5

A equação em (u,v) é v^2 = 4u. Voltando a (x,y), fazemos
\Bigl(-3(x-2)+4(y-2)\Bigr)^2 \;=\; 25\,v^2 \;=\;25\cdot(4u) \;=\;100\,u \;=\;100\cdot\frac{4(x-2)+3(y-2)}{5} \;=\;20\bigl(4(x-2)+3(y-2)\bigr).
Isto é,
\bigl(4y-3x-2\bigr)^2 = 20\,(4x+3y-14).
Expandindo e recolhendo termos em x e y chega-se a
9x^2 +16y^2 -24xy -68x -76y +284 = 0.

Resposta

9x^{2}+16y^{2}-24xy-68x-76y+284=0

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