Calcular os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.
O conteúdo é autovalores/autovetores: primeiro montamos o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0, depois resolvemos para \lambda e, em seguida, para cada autovalor \lambda achamos vetores não nulos que satisfazem (A - \lambda I)x = 0.]

Passo 2

O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}2 - \lambda & 1 \\[4pt]3 & 4 - \lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(4-\lambda) - 3.
Expandindo,
(2-\lambda)(4-\lambda) - 3 = 8 - 2\lambda -4\lambda + \lambda^2 - 3 = \lambda^2 - 6\lambda + 5.]

Passo 3

Igualamos o polinômio a zero e resolvemos:
\lambda^2 - 6\lambda + 5 = 0.
As raízes são
\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2},
logo \lambda_1 = 1 e \lambda_2 = 5.

Passo 4

Para \lambda_1 = 1 resolvemos (A - I)x = 0, ou seja
\begin{pmatrix}2-1 & 1\\[4pt]3 & 4-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Isso dá a equação x_1 + x_2 = 0. Tomando x_1 = 1, vem x_2 = -1. Um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2 = 5 resolvemos (A - 5I)x = 0, ou seja
\begin{pmatrix}2-5 & 1\\[4pt]3 & 4-5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & 1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Isso dá -3x_1 + x_2 = 0, ou seja x_2 = 3x_1. Tomando x_1 = 1, vem x_2 = 3. Um autovetor associado é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Resposta

\lambda_1 = 1, autovetor v_1 = (1,-1)^{T}
\lambda_2 = 5, autovetor v_2 = (1,3)^{T}

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