07 - Dada a função f(x, y)=e^2 x+3 y,
a) Calcular partial^3 fpartial x^3 e partial^3 fpartial y^3
b) Verificar que partial^3 fpartial y^2 partial x=partial^3 fpartial x partial y^2

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=e^2x+3y e pede as derivadas de terceira ordem em relação a x e a y, além de verificar a igualdade de duas derivadas mistas de terceira ordem. O conteúdo é derivação parcial repetida usando a regra da cadeia: cada derivada em x traz um fator 2 e cada derivada em y traz um fator 3.

Passo 2

Vamos obter dfracpartial^3 fpartial x^3. Primeiro
partial fpartial x =2,e^2x+3y
Derivando novamente em x:
partial^2 fpartial x^2 =2cdot2,e^2x+3y =4,e^2x+3y,
e outra vez:
partial^3 fpartial x^3 =2cdot4,e^2x+3y =8,e^2x+3y

Passo 3

Agora dfracpartial^3 fpartial y^3. Primeiro
partial fpartial y =3,e^2x+3y
Derivando duas vezes mais em y:
partial^2 fpartial y^2 =3cdot3,e^2x+3y =9,e^2x+3y,
partial^3 fpartial y^3 =3cdot9,e^2x+3y =27,e^2x+3y

Passo 4

Para verificar dfracpartial^3 fpartial y^2partial x=dfracpartial^3 fpartial xpartial y^2 calculamos ambas ordens. Primeiro
partial fpartial x=2,e^2x+3y, partialpartial yl(2,e^2x+3yr)=6,e^2x+3y, partial^2partial y^2l(2,e^2x+3yr)=18,e^2x+3y,
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partial^3 fpartial y^2partial x=18,e^2x+3y
Em seguida
partial^2 fpartial y^2=9,e^2x+3y, partialpartial xl(9,e^2x+3yr)=18,e^2x+3y,
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partial^3 fpartial xpartial y^2=18,e^2x+3y
Como os dois resultados coincidem, a igualdade está verificada.

Resposta

a) partial^3 fpartial x^3=8,e^2x+3y
partial^3 fpartial y^3=27,e^2x+3y
b) partial^3 fpartial y^2partial x =partial^3 fpartial xpartial y^2 =18,e^2x+3y.

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