07 - Dada a função
,
a) Calcular
b) Verificar que
a) Calcular
b) Verificar que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas de terceira ordem em relação a
e a
, além de verificar a igualdade de duas derivadas mistas de terceira ordem. O conteúdo é derivação parcial repetida usando a regra da cadeia: cada derivada em
traz um fator
e cada derivada em
traz um fator
.
Passo 2
Vamos obter
. Primeiro
Derivando novamente em
:
e outra vez:
Passo 3
Agora
. Primeiro
Derivando duas vezes mais em
:
Passo 4
Para verificar
calculamos ambas ordens. Primeiro
logo
Em seguida
logo
Como os dois resultados coincidem, a igualdade está verificada.
Resposta
a)
b)
.