Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita)
S=(x, y) mid x >= 1,0 <= y <= e^x

Passo 1

O enunciado define a região
S = (x,y)mid x>= 1,;0<= y<= e^x
e pede (a) um esboço dessa região no plano e (b) a sua área. O conteúdo envolvido é geometria de regiões planas e cálculo de área via integral dupla (ou integral imprópria).

Passo 2

Esboço da região S:
  • Desenhe o eixo x horizontal e o eixo y vertical.
  • Trace a reta vertical x=1.
  • Desenhe a curva exponencial y=e^x, que cresce rapidamente para a direita.
  • A região procurada é o “fundo” delimitado abaixo pela reta y=0, acima pela curva y=e^x e à esquerda pela reta x=1, estendendo-se indefinidamente para a direita.

Passo 3

Para calcular a área A de S, fixamos x e integramos y de 0 até e^x, depois integramos x de 1 até infty:
A = integral duplaS dA = integralx=1^inftyl(integraly=0^e^xdyr),dx = integral1^inftye^x,dx

Passo 4

A integral é imprópria porque o limite superior é infinito. Para t>1:
integral1^te^x,dx = e^xlvert1^t = e^t-e^1 = e^t-e
Tomando ttoinfty, temos e^ttoinfty, logo
integral1^inftye^x,dx = limttoinfty(e^t-e)=infty

Resposta

A área da região S é infinita (diverge).

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