Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita)
S=(x, y) mid x >= 0,0 <= y <= x e^-x

Passo 1

O enunciado define a região
S = (x,y)mid x>=0,;0<= y<= x,e^-x
e pede para esboçar essa região e calcular sua área, caso seja finita. O conteúdo que vamos usar é o cálculo de área sob uma curva pela integral imprópria.

Passo 2

Para esboçar, note que a fronteira superior é a curva
y = x,e^-x, x>=0,
que nasce em (0,0), atinge máximo em x=1 com valor 1/e, e depois decai para zero conforme xtoinfty. A região S fica entre o eixo x (ou seja y=0) e essa curva, para x variando de 0 até o infinito.

Passo 3

A área de S é dada pela integral imprópria
Área(S) =integralx=0^inftyl(underbracex,e^-xa<urar),dx =integral0^inftyx,e^-x,dx Á

Passo 4

Para calcular
integral0^inftyx,e^-x,dx
fazemos por partes, deixando
u = x, dv = e^-xdx
du = dx, v = -e^-x
Então
integral0^inftyx,e^-x,dx =l[-x,e^-xr]0^infty +integral0^inftye^-x,dx =0 - 0 + l[-e^-xr]0^infty =1

Resposta

A área da região S é 1.

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