07 - Determine a derivada direcional da função f(x, y)=x^4-x^2 y^3 no ponto (2,1) na direção do vetor (2,3) (1.0 ponto)

Passo 1

No enunciado temos a função f(x,y)=x^4 - x^2y^3 e precisamos achar a derivada direcional em (2,1) na direção do vetor (2,3). O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais, gradiente e a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=4x^3-2xy^3
partial fpartial y=-3x^2y^2

Passo 3

Avaliando em (2,1):
partial fpartial x(2,1)=4cdot2^3-2cdot2cdot1^3=32-4=28
partial fpartial y(2,1)=-3cdot2^2cdot1^2=-12

Passo 4

O vetor direção é v=(2,3) com norma
|v|=raiz2^2+3^2=raiz13
Portanto o vetor unitário é
u=1raiz13(2,3)

Passo 5

Aplicando a definição de derivada direcional:
Duf(2,1) =nabla f(2,1)cdotu =28cdot2raiz13+(-12)cdot3raiz13
=56-36raiz13
=20raiz13

Resposta

20raiz13

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