07 Um pequeno objeto linear é colocado sobre o eixo principal, em frente da superfície refletora de um espelho esférico gaussiano. Sabendo que a abscissa focal do espelho vale
e que a abscissa do objeto vale
, expresse o aumento linear transversal
em função de
e de
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações claras:
- A abscissa focal do espelho é
. - A abscissa do objeto é
.
O que se pede:
- Expressar o aumento linear transversal
em função de e de .
Passo 2
Introduzimos a abscissa da imagem, que chamaremos de
. Para espelhos esféricos, na aproximação paraxial, vale a relação de Gauss (fórmula do espelho):
Aqui cada símbolo significa:
-
: distância do objeto ao vértice do espelho (abscissa do objeto). -
: distância da imagem ao vértice do espelho (abscissa da imagem). -
: distância focal do espelho (abscissa focal).
Essa relação é uma fórmula padrão que liga as três distâncias no sistema geométrico de espelhos.
Passo 3
Vamos isolar
na equação de Gauss. Partindo de
subtraímos
de ambos os lados:
Colocando em um denominador comum:
Invertendo os dois lados para obter
:
Passo 4
Agora usamos a definição do aumento linear transversal (também chamado de aumento lateral ou magnificação): é a razão entre a altura da imagem e a altura do objeto; para espelhos esféricos, em convenção usual,
O sinal negativo indica que uma imagem real formada por um espelho côncavo é invertida em relação ao objeto (se
, imagem invertida).
Substituímos a expressão de
que encontramos:
Cancelando
no numerador e denominador:
Passo 5
Interpretações rápidas e lembretes práticos (úteis para prova):
- Se
, então (imagem muito pequena, praticamente no foco). - Se
, o denominador zera e tende ao infinito (imagem formada no infinito). - Se
, então
ou seja, imagem de mesmo tamanho e invertida, formada em
(ponto imagem sobre o centro de curvatura).
Esses casos ajudam a checar resultados numéricos rápidos na prova.
Esses casos ajudam a checar resultados numéricos rápidos na prova.