07 Um pequeno objeto linear é colocado sobre o eixo principal, em frente da superfície refletora de um espelho esférico gaussiano. Sabendo que a abscissa focal do espelho vale \mathbf{f} e que a abscissa do objeto vale \mathbf{p}, expresse o aumento linear transversal \mathbf{A} em função de \mathbf{f} e de \mathbf{p}.

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras:
  • A abscissa focal do espelho é \,f\,.
  • A abscissa do objeto é \,p\,.
O que se pede:
  • Expressar o aumento linear transversal \,A\, em função de \,f\, e de \,p.

Passo 2

Introduzimos a abscissa da imagem, que chamaremos de \,q\,. Para espelhos esféricos, na aproximação paraxial, vale a relação de Gauss (fórmula do espelho):
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \,p\,: distância do objeto ao vértice do espelho (abscissa do objeto).
  • \,q\,: distância da imagem ao vértice do espelho (abscissa da imagem).
  • \,f\,: distância focal do espelho (abscissa focal).
    Essa relação é uma fórmula padrão que liga as três distâncias no sistema geométrico de espelhos.

Passo 3

Vamos isolar \,q\, na equação de Gauss. Partindo de
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f},
subtraímos \dfrac{1}{p} de ambos os lados:
\frac{1}{q}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}.
Colocando em um denominador comum:
\frac{1}{q}=\frac{p-f}{fp}.
Invertendo os dois lados para obter \,q\,:
q=\frac{fp}{\,p-f\,}.

Passo 4

Agora usamos a definição do aumento linear transversal (também chamado de aumento lateral ou magnificação): é a razão entre a altura da imagem e a altura do objeto; para espelhos esféricos, em convenção usual,
A=-\frac{q}{p}.
O sinal negativo indica que uma imagem real formada por um espelho côncavo é invertida em relação ao objeto (se \,A<0, imagem invertida).
Substituímos a expressão de \,q\, que encontramos:
A=-\frac{1}{p}\cdot\frac{fp}{\,p-f\,}.
Cancelando \,p\, no numerador e denominador:
A=-\frac{f}{\,p-f\,}.

Passo 5

Interpretações rápidas e lembretes práticos (úteis para prova):
  • Se \,p\to\infty, então A\to0 (imagem muito pequena, praticamente no foco).
  • Se \,p=f, o denominador zera e A tende ao infinito (imagem formada no infinito).
  • Se \,p=2f, então
A=-\frac{f}{2f-f}=-1,
ou seja, imagem de mesmo tamanho e invertida, formada em \,q=2f (ponto imagem sobre o centro de curvatura).
Esses casos ajudam a checar resultados numéricos rápidos na prova.

Resposta

A=-\frac{f}{\,p-f\,}

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