Diante de um espelho convexo com 30 cm de raio de curvatura coloca-se um objeto luminoso a 10 cm do vértice. Determine:
a) a abscissa focal do espelho;
b) a distância da imagem ao espelho.
a) a abscissa focal do espelho;
b) a distância da imagem ao espelho.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
-
Dados fornecidos:
- Raio de curvatura do espelho:
. - Objeto colocado a
do vértice do espelho. Vou chamar a distância do objeto ao vértice de , portanto .
- Raio de curvatura do espelho:
-
O enunciado pede:
- (a) a abscissa focal do espelho (ou seja, o valor da distância focal medida a partir do vértice);
- (b) a distância da imagem ao espelho (ou seja, a posição da imagem medida a partir do vértice).
Passo 2
Explicando a convenção de sinais que vou usar (muito importante para não confundir na prova).
- Todas as distâncias são medidas a partir do vértice do espelho ao longo do eixo principal.
- Distância do objeto:
quando o objeto está na frente do espelho (lado de onde vem a luz incidente). Aqui o objeto está na frente, então e é positivo. - Distância da imagem: denotada por
. Se a imagem for real e estiver na frente do espelho, . Se a imagem for virtual (como é típico em espelhos convexos), ela aparece “atrás” do espelho e então . - Distância focal:
. Para espelhos esféricos vale . Para espelhos convexos o foco está atrás do espelho, portanto . Vou aplicar essa regra explícita adiante.
(Isto é só a convenção; agora aplicamos as fórmulas.)
Passo 3
Calcular a abscissa focal
usando a relação entre raio de curvatura e distância focal.
- Fórmula:
- Substituindo
: - Como o espelho é convexo, o foco está atrás do espelho, então aplicando a convenção de sinais:
Comentário didático rápido: a fórmula
vem da geometria dos espelhos esféricos no paraxial (pequenos ângulos). O sinal negativo aparece porque o centro de curvatura (e portanto o foco) fica do lado oposto ao objeto para espelhos convexos.
Passo 4
Apresentar a equação dos espelhos (a equação que relaciona
,
e
) e explicar o que significa cada termo.
- Equação dos espelhos (paraxial):
onde: -
é a distância focal (com sinal, em cm); -
é a distância do objeto ao vértice (positiva aqui, em cm); -
é a distância da imagem ao vértice (com sinal; será o que vamos encontrar).
-
- Nosso objetivo agora é isolar
nessa equação.
Passo 5
Isolar
e calcular numericamente passo a passo.
- A equação rearranjada:
- Substituir os valores numéricos que já temos:
e . - Fazer as contas com frações (mesmo processo que dá pra fazer sem calculadora):
Para somar, use um denominador comum
:
- Agora invertemos para obter
:
Passo 6
Interpretar o resultado fisicamente (o que o sinal significa) e dar a resposta em termos da distância ao espelho.
- Encontramos
. O sinal negativo indica que a imagem é virtual e está do lado oposto ao objeto — ou seja, “atrás” do espelho. - Em termos de distância (valor absoluto), a imagem forma-se a
do vértice do espelho, atrás dele.
Dica prática para a prova: ao ver espelho convexo, já espere
e imagem virtual
; muitas questões só pedem a distância numérica positiva (a posição absoluta), mas se pedirem abscissa ou coordenada, forneça o sinal também.
Resposta
(a)
(b) (imagem virtual a
atrás do espelho)
(b)