Diante de um espelho convexo com 30 cm de raio de curvatura coloca-se um objeto luminoso a 10 cm do vértice. Determine:
a) a abscissa focal do espelho;
b) a distância da imagem ao espelho.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Raio de curvatura do espelho: R=30\\ \text{cm}.
    • Objeto colocado a 10\\ \text{cm} do vértice do espelho. Vou chamar a distância do objeto ao vértice de p, portanto p=10\\ \text{cm}.
  • O enunciado pede:
    • (a) a abscissa focal do espelho (ou seja, o valor da distância focal medida a partir do vértice);
    • (b) a distância da imagem ao espelho (ou seja, a posição da imagem medida a partir do vértice).

Passo 2

Explicando a convenção de sinais que vou usar (muito importante para não confundir na prova).
  • Todas as distâncias são medidas a partir do vértice do espelho ao longo do eixo principal.
  • Distância do objeto: p>0 quando o objeto está na frente do espelho (lado de onde vem a luz incidente). Aqui o objeto está na frente, então p=10\\ \text{cm} e é positivo.
  • Distância da imagem: denotada por p'. Se a imagem for real e estiver na frente do espelho, p'>0. Se a imagem for virtual (como é típico em espelhos convexos), ela aparece “atrás” do espelho e então p'<0.
  • Distância focal: f. Para espelhos esféricos vale f=\dfrac{R}{2}. Para espelhos convexos o foco está atrás do espelho, portanto f<0. Vou aplicar essa regra explícita adiante.
(Isto é só a convenção; agora aplicamos as fórmulas.)

Passo 3

Calcular a abscissa focal f usando a relação entre raio de curvatura e distância focal.
  • Fórmula: \displaystyle f=\frac{R}{2}.
  • Substituindo R=30\\ \text{cm}: f=\frac{30\\ \text{cm}}{2}=15\\ \text{cm}.
  • Como o espelho é convexo, o foco está atrás do espelho, então aplicando a convenção de sinais: f=-15\\ \text{cm}.
Comentário didático rápido: a fórmula f=R/2 vem da geometria dos espelhos esféricos no paraxial (pequenos ângulos). O sinal negativo aparece porque o centro de curvatura (e portanto o foco) fica do lado oposto ao objeto para espelhos convexos.

Passo 4

Apresentar a equação dos espelhos (a equação que relaciona p, p' e f) e explicar o que significa cada termo.
  • Equação dos espelhos (paraxial): \frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}.onde:
    • \,f é a distância focal (com sinal, em cm);
    • \,p é a distância do objeto ao vértice (positiva aqui, em cm);
    • \,p' é a distância da imagem ao vértice (com sinal; será o que vamos encontrar).
  • Nosso objetivo agora é isolar \,p' nessa equação.

Passo 5

Isolar p' e calcular numericamente passo a passo.
  • A equação rearranjada: \frac{1}{p'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}.
  • Substituir os valores numéricos que já temos: f=-15\\ \text{cm} e p=10\\ \text{cm}. \frac{1}{p'}=\frac{1}{-15}-\frac{1}{10}.
  • Fazer as contas com frações (mesmo processo que dá pra fazer sem calculadora): \frac{1}{-15}=-\frac{1}{15},\qquad \frac{1}{10}=\frac{1}{10}.
\frac{1}{p'}=-\frac{1}{15}-\frac{1}{10}.
Para somar, use um denominador comum 30:
-\frac{1}{15}=-\frac{2}{30},\qquad -\frac{1}{10}=-\frac{3}{30}.
\frac{1}{p'}=-\frac{2}{30}-\frac{3}{30}=-\frac{5}{30}=-\frac{1}{6}.
  • Agora invertemos para obter p': p'=\left(-\frac{1}{6}\right)^{-1}=-6\\ \text{cm}.

Passo 6

Interpretar o resultado fisicamente (o que o sinal significa) e dar a resposta em termos da distância ao espelho.
  • Encontramos p'=-6\\ \text{cm}. O sinal negativo indica que a imagem é virtual e está do lado oposto ao objeto — ou seja, “atrás” do espelho.
  • Em termos de distância (valor absoluto), a imagem forma-se a 6\\ \text{cm} do vértice do espelho, atrás dele.
Dica prática para a prova: ao ver espelho convexo, já espere f<0 e imagem virtual p'<0; muitas questões só pedem a distância numérica positiva (a posição absoluta), mas se pedirem abscissa ou coordenada, forneça o sinal também.

Resposta

(a) f=-15\\ \text{cm}
(b) p'=-6\\ \text{cm} (imagem virtual a 6\\ \text{cm} atrás do espelho)

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