Duas ondas senoidais de mesmo período (T=5 \mathrm{~ms}) e mesmo comprimento de onda ( \lambda= 1 \mathrm{~m}), se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada. Suas amplitudes são, respectivamente, 5,0 e 7,0 \mathrm{~mm}. Suas constantes de fase são, respectivamente, 0 e 0,4 \pi \mathrm{rad}.
a) Represente essas ondas em um diagrama fasorial.
b) Escreva a equação da onda resultante da interferência dessas ondas.
Passo 1
O enunciado dá duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido numa corda e pede duas coisas:
(a) representar as duas ondas num diagrama fasorial;
(b) escrever a equação da onda resultante da interferência.
Informações fornecidas (peguei todas do enunciado):
Período: T=5{,}0\\ \text{ms}.
Comprimento de onda: \lambda=1{,}0\\ \text{m}.
Amplitudes: A_1=5{,}0\\ \text{mm} e A_2=7{,}0\\ \text{mm}.
Constantes de fase: \varphi_1=0 e \varphi_2=0{,}4\pi\\ \text{rad}.
As duas ondas têm o mesmo período e comprimento de onda e se propagam no mesmo sentido (logo têm mesma frequência e mesmo número de onda).
O que preciso fornecer:
(a) um diagrama fasorial que represente os dois fasores (módulos e ângulos) e o fasor resultante;
(b) a equação y(x,t) da soma das duas ondas (a onda resultante), expressando amplitude, número de onda, pulsação e fase resultante.
Passo 2
Primeiro transcrever cada onda numa forma padrão e calcular k e \omega.
Explicando rápido as quantidades:
O comprimento de onda \lambda é o comprimento de uma oscilação espacial; o número de onda k mede quantas radianos por metro a onda varia e vale \;k=\dfrac{2\pi}{\lambda}. Aqui \lambda=1{,}0\\ \text{m}, então
k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=2\pi\\ \text{rad/m}.
O período T é o tempo de uma oscilação; a frequência é f=\dfrac{1}{T}, e a pulsação (frequência angular) é \omega=2\pi f=\dfrac{2\pi}{T}. Com T=5{,}0\\ \text{ms}=5{,}0\times10^{-3}\\ \text{s},
Explicando o que é um diagrama fasorial e como representá-lo (aula rápida):
Um fasor é um vetor no plano complexo que representa a amplitude e a fase de uma senoide de mesma frequência. O comprimento do vetor é a amplitude e o ângulo que ele forma com o eixo real é a fase.
Como as duas ondas têm a mesma frequência, basta desenhar dois vetores partindo da origem: um de módulo [A_1) com ângulo \varphi_1 e outro de módulo A_2 com ângulo \varphi_2. A soma vetorial deles dá o fasor resultante (módulo = amplitude resultante, ângulo = fase resultante).
Calcular as componentes cartesianas dos fasores (vou trabalhar em milímetros para a visualização do diagrama, porque é mais intuitivo):