Duas ondas senoidais de mesmo período (T=5 \mathrm{~ms}) e mesmo comprimento de onda ( \lambda= 1 \mathrm{~m}), se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada. Suas amplitudes são, respectivamente, 5,0 e 7,0 \mathrm{~mm}. Suas constantes de fase são, respectivamente, 0 e 0,4 \pi \mathrm{rad}.
a) Represente essas ondas em um diagrama fasorial.
b) Escreva a equação da onda resultante da interferência dessas ondas.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido numa corda e pede duas coisas:
  • (a) representar as duas ondas num diagrama fasorial;
  • (b) escrever a equação da onda resultante da interferência.
Informações fornecidas (peguei todas do enunciado):
  • Período: T=5{,}0\\ \text{ms}.
  • Comprimento de onda: \lambda=1{,}0\\ \text{m}.
  • Amplitudes: A_1=5{,}0\\ \text{mm} e A_2=7{,}0\\ \text{mm}.
  • Constantes de fase: \varphi_1=0 e \varphi_2=0{,}4\pi\\ \text{rad}.
  • As duas ondas têm o mesmo período e comprimento de onda e se propagam no mesmo sentido (logo têm mesma frequência e mesmo número de onda).
O que preciso fornecer:
  • (a) um diagrama fasorial que represente os dois fasores (módulos e ângulos) e o fasor resultante;
  • (b) a equação y(x,t) da soma das duas ondas (a onda resultante), expressando amplitude, número de onda, pulsação e fase resultante.

Passo 2

Primeiro transcrever cada onda numa forma padrão e calcular k e \omega.
Explicando rápido as quantidades:
  • O comprimento de onda \lambda é o comprimento de uma oscilação espacial; o número de onda k mede quantas radianos por metro a onda varia e vale \;k=\dfrac{2\pi}{\lambda}. Aqui \lambda=1{,}0\\ \text{m}, então
k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=2\pi\\ \text{rad/m}.
  • O período T é o tempo de uma oscilação; a frequência é f=\dfrac{1}{T}, e a pulsação (frequência angular) é \omega=2\pi f=\dfrac{2\pi}{T}. Com T=5{,}0\\ \text{ms}=5{,}0\times10^{-3}\\ \text{s},
f=\dfrac{1}{T}=200\\ \text{Hz},\qquad \omega=\dfrac{2\pi}{T}=400\pi\\ \text{rad/s}\\ (\approx1256{,}64\\ \text{rad/s}).
Agora escrever cada onda no formato usual (ondas viajantes no sentido positivo do eixo x):
y_1(x,t)=A_1\sin\!\big(kx-\omega t+\varphi_1\big), \qquad y_2(x,t)=A_2\sin\!\big(kx-\omega t+\varphi_2\big).
Para trabalhar em SI converto as amplitudes:
A_1=5{,}0\\ \text{mm}=5{,}0\times10^{-3}\\ \text{m},\qquad A_2=7{,}0\\ \text{mm}=7{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}.

Passo 3

Explicando o que é um diagrama fasorial e como representá-lo (aula rápida):
  • Um fasor é um vetor no plano complexo que representa a amplitude e a fase de uma senoide de mesma frequência. O comprimento do vetor é a amplitude e o ângulo que ele forma com o eixo real é a fase.
  • Como as duas ondas têm a mesma frequência, basta desenhar dois vetores partindo da origem: um de módulo [A_1) com ângulo \varphi_1 e outro de módulo A_2 com ângulo \varphi_2. A soma vetorial deles dá o fasor resultante (módulo = amplitude resultante, ângulo = fase resultante).
Calcular as componentes cartesianas dos fasores (vou trabalhar em milímetros para a visualização do diagrama, porque é mais intuitivo):
  • Fasor 1 (módulo A_1=5{,}0\\ \text{mm}, ângulo \varphi_1=0): \begin{cases} x_1 = A_1\cos\varphi_1 = 5{,}0\cos 0 = 5{,}0\\ \text{mm},\\[4pt] y_1 = A_1\sin\varphi_1 = 5{,}0\sin 0 = 0\\ \text{mm}. \end{cases}
  • Fasor 2 (módulo A_2=7{,}0\\ \text{mm}\], ângulo \[\varphi_2=0{,}4\pi):Primeiro avalio \cos(0{,}4\pi) e \sin(0{,}4\pi). (Lembrete: 0{,}4\pi=72^\circ.) \cos(0{,}4\pi)\approx0{,}30901699,\qquad \sin(0{,}4\pi)\approx0{,}95105652.Assim \begin{cases} x_2 = A_2\cos\varphi_2 \approx 7{,}0\cdot0{,}30901699 \approx 2{,}1631\\ \text{mm},\\[4pt] y_2 = A_2\sin\varphi_2 \approx 7{,}0\cdot0{,}95105652 \approx 6{,}6574\\ \text{mm}. \end{cases}
Portanto, para desenhar o diagrama fasorial:
  • desenhar o vetor \vec{A}_1\] que vai de \((0,0) até (5{,}0,\;0) mm;
  • desenhar o vetor \vec{A}_2 que vai de (0,0) até (2{,}1631,\;6{,}6574) mm;
  • a soma vetorial \vec{A}=\vec{A}_1+\vec{A}_2 tem coordenadas (x_1+x_2,\\ y_1+y_2)=(7{,}1631,\\\ 6{,}6574) mm.]

Passo 4

Calcular amplitude e fase resultantes a partir das componentes somadas (detalhando as contas para a prova).
Componentes do fasor resultante (em mm):
x = x_1+x_2 = 5{,}0 + 2{,}163118958 \approx 7{,}163118958\\ \text{mm}, \qquad y = y_1+y_2 = 0 + 6{,}657395614 \approx 6{,}657395614\\ \text{mm}.
A amplitude resultante A é o módulo do vetor:
A=\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{(7{,}163118958)^2+(6{,}657395614)^2}\\ \text{mm}.
Faço a conta passo a passo:
(7{,}163118958)^2\approx51{,}321, \qquad (6{,}657395614)^2\approx44{,}310,
A\approx\sqrt{51{,}321+44{,}310}=\sqrt{95{,}631}\approx9{,}781\\ \text{mm}.
Em unidades SI:
A\approx9{,}781\times10^{-3}\\ \text{m}.
A fase resultante \varphi (ângulo do vetor resultante medido a partir do eixo x) é dada por
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) =\arctan\!\left(\dfrac{6{,}657395614}{7{,}163118958}\right).
Calculando:
\varphi\approx0{,}749\\ \text{rad}\approx42{,}9^\circ.
Observação didática: existe também a fórmula direta (útil em prova) para soma de duas senoides de mesma frequência:
A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}, \qquad \tan\varphi=\dfrac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2},
que, se aplicada aqui, dá exatamente os valores que obtivemos pelo método fasorial.

Passo 5

Montar a equação da onda resultante explicando cada termo (útil para a prova).
Sabendo que a soma tem a mesma dependência espacial e temporal comum kx-\omega t, a onda resultante é
y(x,t)=A\sin\!\big(kx-\omega t+\varphi\big),
onde A e \varphi são os valores calculados no passo anterior.
Substituindo os valores numéricos (em unidades SI e com os parâmetros calculados):
  • A\approx9{,}781\times10^{-3}\\ \text{m},
  • k=2\pi\\ \text{rad/m},
  • \omega=400\pi\\ \text{rad/s},
  • \varphi\approx0{,}749\\ \text{rad},
temos a forma final (aproximada):
y(x,t)\approx 9{,}781\times10^{-3}\,\sin\!\big(2\pi x - 400\pi t + 0{,}749\big)\\ \text{m}.
Se preferir manter amplitudes em milímetros (às vezes pedido em prova), basta usar
y(x,t)\approx 9{,}781\\ \sin\!\big(2\pi x - 400\pi t + 0{,}749\big)\\ \text{mm},
porque a parte trigonométrica é adimensional.

Passo 6

Resumo final (rápido checklist para a prova):
  • Desenhe os dois fasores com os comprimentos e ângulos dados e some-os geometricamente para obter o fasor resultante.
  • Use as fórmulas para A e \varphi se preferir cálculos algébricos.
  • Escreva a onda resultante como A\sin(kx-\omega t+\varphi) substituindo A,k,\omega,\varphi.
Força aí — esse tipo de soma por fasores é um truque muito útil e rápido na prova: desenha, soma, calcula A e \varphi e escreve a resposta.

Resposta

(a) Fasores: \vec{A}_1 com módulo 5{,}0\\ \text{mm} e ângulo 0; \vec{A}_2 com módulo 7{,}0\\ \text{mm} e ângulo 0{,}4\pi. Fasor resultante: módulo A\approx9{,}781\\ \text{mm} e ângulo \varphi\approx0{,}749\\ \text{rad} (≈ 42{,}9^\circ).
(b) y(x,t)\approx 9{,}781\times10^{-3}\,\sin\!\big(2\pi x - 400\pi t + 0{,}749\big)\\ \text{m}.

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