07 - O perfil de velocidade para o escoamento laminar em regime permanente de água através de um tubo com 0,4 \mathrm{~m} de diâmetro é definido por v=3\left(1-25 r^{2}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}, onde r está em metros. Determine a vazão volumétrica pelo tubo e a velocidade média do escoamento.

Passo 1

O enunciado dá o perfil de velocidade radial no interior do tubo e pede duas coisas:
  • Determinar a vazão volumétrica Q pelo tubo.
  • Determinar a velocidade média do escoamento \bar v.
Informações fornecidas:
  • Perfil de velocidade: v(r)=3\bigl(1-25r^{2}\bigr)\\ \mathrm{m/s}, onde r está em metros.
  • Diâmetro do tubo: 0,4\\ \mathrm{m}. Portanto o raio do tubo é
a=\frac{0,4}{2}=0,2\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar para a vazão volumétrica:
  • A vazão volumétrica Q é a integral da velocidade sobre a área da seção transversal:
Q=\iint_{A} v\,\mathrm{d}A.
  • Para um tubo com simetria circular é natural usar coordenadas polares na seção transversal; o elemento de área é
\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta,
com 0\le r\le a e 0\le\theta\le 2\pi. Assim a integral vira
Q=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} v(r)\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = 2\pi\int_{0}^{a} v(r)\,r\,\mathrm{d}r.
Explico cada símbolo: r é a coordenada radial, a é o raio do tubo, v(r) é a velocidade em função de r, e Q tem unidades de \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 3

Substituímos v(r) na integral. Primeiro escrevemos v(r) de forma expandida:
v(r)=3\bigl(1-25r^{2}\bigr)=3-75r^{2}.
O integrando v(r)\,r fica
v(r)\,r=(3-75r^{2})\,r=3r-75r^{3}.
Portanto
Q=2\pi\int_{0}^{a}\bigl(3r-75r^{3}\bigr)\mathrm{d}r.

Passo 4

Calculamos a integral passo a passo:
  • Integral de 3r:
\int 3r\,\mathrm{d}r = \frac{3r^{2}}{2}.
  • Integral de 75r^{3}:
\int 75r^{3}\,\mathrm{d}r = \frac{75r^{4}}{4}.
Logo
\int_{0}^{a}\bigl(3r-75r^{3}\bigr)\mathrm{d}r=\left[\frac{3r^{2}}{2}-\frac{75r^{4}}{4}\right]_{0}^{a} =\frac{3a^{2}}{2}-\frac{75a^{4}}{4}.
Agora substituímos a=0,2\\ \mathrm{m}. Calculamos a^{2}=0,2^{2}=0,04 e a^{4}=0,04^{2}=0,0016.
  • \dfrac{3a^{2}}{2}=\dfrac{3\cdot 0,04}{2}=0,06.
  • \dfrac{75a^{4}}{4}=\dfrac{75\cdot 0,0016}{4}=\dfrac{0,12}{4}=0,03.
    Assim a integral vale 0,06-0,03=0,03.
Multiplicando por 2\pi obtemos a vazão:
Q=2\pi\cdot 0,03=0,06\pi\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Em valor numérico aproximado:
Q\approx 0,06\pi \approx 0,1885\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.

Passo 5

Agora a velocidade média \bar v é definida por
\bar v=\frac{Q}{A},
onde A é a área da seção transversal do tubo: A=\pi a^{2}=\pi\cdot 0,04=0,04\pi\\ \mathrm{m}^{2}.
Substituindo Q=0,06\pi\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} e A=0,04\pi\\ \mathrm{m}^{2} temos
\bar v=\frac{0,06\pi}{0,04\pi}=\frac{0,06}{0,04}=1,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Observação: as \pi cancelam, por isso muitas vezes é fácil obter a média sem calcular numericamente \pi.

Passo 6

Resumo rápido dos resultados e checagem de unidades:
  • Q tem unidade \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} e o cálculo levou a 0,06\pi\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}, coerente.
  • \bar v tem unidade \mathrm{m}/\mathrm{s} e é 1,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, um valor entre 0 (na parede, onde v(a)=3(1-25a^{2})=0) e o centro (onde r=0 e v=3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}), portanto faz sentido físico.

Resposta

Q=0,06\pi\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}\approx 0,1885\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}\n
\bar v=1,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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