07 - O perfil de velocidade para o escoamento laminar em regime permanente de água através de um tubo com
de diâmetro é definido por
, onde r está em metros. Determine a vazão volumétrica pelo tubo e a velocidade média do escoamento.
Passo 1
O enunciado dá o perfil de velocidade radial no interior do tubo e pede duas coisas:
- Determinar a vazão volumétrica
pelo tubo. - Determinar a velocidade média do escoamento
.
Informações fornecidas:
- Perfil de velocidade:
, onde está em metros. - Diâmetro do tubo:
. Portanto o raio do tubo é
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar para a vazão volumétrica:
- A vazão volumétrica
é a integral da velocidade sobre a área da seção transversal:
- Para um tubo com simetria circular é natural usar coordenadas polares na seção transversal; o elemento de área é
com
e
. Assim a integral vira
Explico cada símbolo:
é a coordenada radial,
é o raio do tubo,
é a velocidade em função de
, e
tem unidades de
.
Passo 3
Substituímos
na integral. Primeiro escrevemos
de forma expandida:
O integrando
fica
Portanto
Passo 4
Calculamos a integral passo a passo:
- Integral de
:
- Integral de
:
Logo
Agora substituímos
. Calculamos
e
.
-
-
Assim a integral vale.
Multiplicando por
obtemos a vazão:
Em valor numérico aproximado:
Passo 5
Agora a velocidade média
é definida por
onde
é a área da seção transversal do tubo:
.
Substituindo
e
temos
Observação: as
cancelam, por isso muitas vezes é fácil obter a média sem calcular numericamente
.
Passo 6
Resumo rápido dos resultados e checagem de unidades:
-
tem unidade e o cálculo levou a , coerente. -
tem unidade e é , um valor entre 0 (na parede, onde ) e o centro (onde e ), portanto faz sentido físico.