04 - Determine a vazão mássica do ar com temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C} e pressão de 80 kPa à medida que passa pelo duto circular com velocidade média de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. São dados: constante do ar R_{\text {AR }}=286,9 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \mathrm{K} e pressão atmosférica local de P_{\text {ATM }}=101 \mathrm{kPa}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos. Pedem a vazão mássica do ar que passa por um duto circular com velocidade média 3\\ \mathrm{m/s}. Dados fornecidos:
  • Temperatura do ar: \,20^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão informada no enunciado: \,80\\ \mathrm{kPa}.
  • Constante do ar: \,R_{\text{AR}}=286{,}9\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
  • Pressão atmosférica local: \,P_{\text{ATM}}=101\\ \mathrm{kPa}.
  • A velocidade média do fluxo: \,V=3\\ \mathrm{m/s}.
    Observação importante sobre a figura: eu extraí da imagem o diâmetro do duto igual a \,50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}. Vou usar esse valor como dado do problema (estou explicitando que peguei esse dado da imagem).

Passo 2

Entendimento físico e hipótese sobre a pressão. Para calcular a vazão mássica precisamos da densidade do ar \rho e da vazão volumétrica Q; a vazão mássica é
\dot{m}=\rho\,Q.
A densidade do ar, supondo comportamento de gás ideal, vem da equação dos gases ideais na forma
\rho=\frac{p_{\text{abs}}}{R_{\text{AR}}\,T},
onde p_{\text{abs}} é a pressão absoluta e T é a temperatura absoluta em kelvin. Aqui o enunciado deu a pressão 80\\ \mathrm{kPa} e também forneceu P_{\text{ATM}}. Isso sugere que os 80\\ \mathrm{kPa} são manométricos (gauge), portanto a pressão absoluta será
p_{\text{abs}}=P_{\text{ATM}}+80\\ \mathrm{kPa}.
Adoto essa interpretação (se os 80\\ \mathrm{kPa} fossem já absolutos, bastaria usar p_{\text{abs}}=80\\ \mathrm{kPa}; aqui optei por tratar como pressão manométrica porque o enunciado fornece explicitamente P_{\text{ATM}}).

Passo 3

Converter temperatura e pressão para unidades SI e calcular p_{\text{abs}} e T. Temperatura:
T=20^\circ\mathrm{C}=20+273{,}15=293{,}15\\ \mathrm{K}.
Pressão absoluta (soma da pressão manométrica com a atmosférica):
p_{\text{abs}}=101\\ \mathrm{kPa}+80\\ \mathrm{kPa}=181\\ \mathrm{kPa}=181000\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular a densidade do ar usando a equação dos gases ideais. Substituindo na fórmula
\rho=\frac{p_{\text{abs}}}{R_{\text{AR}}\,T}=\frac{181000}{286{,}9\cdot 293{,}15}\\ \mathrm{kg/m^3}.
Agora a conta (mostrando as etapas):
286{,}9\cdot 293{,}15 \approx 84104{,}735,
\rho\approx\frac{181000}{84104{,}735}\approx 2{,}1528\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 5

Calcular a área da seção transversal do duto circular (usei o diâmetro da imagem \,d=0{,}05\\ \mathrm{m}). A área é
A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi(0{,}05)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}000625\approx 0{,}0019635\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Calcular a vazão volumétrica Q e a vazão mássica \dot{m}. A vazão volumétrica é
Q=A\,V=0{,}0019635\cdot 3\approx 0{,}0058905\\ \mathrm{m^3/s}.
A vazão mássica é
\dot{m}=\rho\,Q\approx 2{,}1528\cdot 0{,}0058905\approx 0{,}01268\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 7

Interpretação final e arredondamento. A vazão mássica encontrada é aproximadamente \,0{,}0127\\ \mathrm{kg/s} (arredondando a três algarismos significativos). Lembre-se: se o valor de 80\\ \mathrm{kPa} no enunciado for, na verdade, pressão absoluta e não manométrica, a densidade e a vazão mássica diminuiriam (usar p_{\text{abs}}=80\\ \mathrm{kPa} daria um valor diferente); aqui eu assumi que os 80\\ \mathrm{kPa} são manométricos porque o enunciado forneceu P_{\text{ATM}}.

Resposta

0{,}0127 kg/s

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