O dióxido de carbono entra no tanque em A a \mathrm{V}_{\mathrm{A}}=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e o nitrogênio entra em B a V_{B}=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Ambos entram em uma pressão manométrica de 300 kPa e uma temperatura de 250^{\circ} \mathrm{C}. Determine a vazão mássica em regime permanente do gás misturado em C .
Dados: \mathrm{R}_{\mathrm{CO} 2}=188,9 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \mathrm{K} ; \mathrm{R}_{\mathrm{N}}=296,8 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \mathrm{K}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumido e claro):
  • Dados fornecidos:
    • \dot V_{A} = 4\\ \mathrm{m^3/s} (vou explicar abaixo por que interpreto esse valor como vazão volumétrica).
    • \dot V_{B} = 3\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Pressão manométrica em A e B: p_{\text{man}} = 300\\ \mathrm{kPa}.
    • Temperatura em A e B: T = 250^\circ\mathrm{C}.
    • Constantes específicas dos gases:
      • R_{\mathrm{CO_2}} = 188{,}9\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
      • R_{\mathrm{N_2}} = 296{,}8\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a vazão mássica em regime permanente do gás misturado em C, isto é \dot m_{C} (kg/s).
Observação importante sobre uma ambiguidade do enunciado (e minha escolha): o enunciado deu V_A e V_B com unidade \mathrm{m/s}, mas para calcular vazão mássica precisamos de vazões volumétricas \dot V (unidade \mathrm{m^3/s}) ou das velocidades com as áreas de escoamento. Como não foram dadas áreas, vou interpretar \dot V_A=4\\ \mathrm{m^3/s} e \dot V_B=3\\ \mathrm{m^3/s} (ou equivalentemente assumir áreas unitárias). Essa é uma escolha razoável quando apenas os números 4 e 3 são fornecidos e não há áreas; se você tiver as áreas, a técnica é idêntica, trocando \dot V= área \timesvelocidade.
Também vou usar a pressão absoluta p = p_{\text{man}} + p_{\text{atm}} e tomar p_{\text{atm}} = 101{,}3\\ \mathrm{kPa} (valor padrão). Se seu professor usa outro valor para p_{\text{atm}}, substitua e repita as contas.

Passo 2

Converter a temperatura para Kelvin e calcular a pressão absoluta:
  • Conversão da temperatura:
T = 250^\circ\mathrm{C} = 250 + 273{,}15 = 523{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão absoluta (assumindo p_{\text{atm}}=101{,}3\\ \mathrm{kPa}):
p = p_{\text{man}} + p_{\text{atm}} = 300 + 101{,}3 = 401{,}3\\ \mathrm{kPa} = 401\,300\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Lembrar a relação entre densidade, pressão e temperatura para gás ideal:
A equação dos gases ideais, em forma conveniente para densidade, é
\rho = \frac{p}{R\,T},
onde:
  • \rho é a densidade do gás em \mathrm{kg/m^3},
  • p é a pressão absoluta em \mathrm{Pa},
  • R é a constante específica do gás em \mathrm{J/(kg\,K)},
  • T é a temperatura absoluta em \mathrm{K}.
Essa fórmula vem de pV = m R T. Dividindo ambos os lados por V obtemos p = \rho R T, daí \rho = p/(R T). É a forma direta que usamos para calcular densidade quando conhecemos p e T.

Passo 4

Calcular a densidade do dióxido de carbono ( \mathrm{CO_2}) nas condições dadas:
  • Primeiro calculamos R_{\mathrm{CO_2}}\,T:
R_{\mathrm{CO_2}}\,T = 188{,}9\cdot 523{,}15 = 98\,823{,}035\\ \mathrm{J/(kg)}.
  • Agora a densidade:
\rho_{\mathrm{CO_2}} = \frac{p}{R_{\mathrm{CO_2}}\,T} = \frac{401\,300}{98\,823{,}035} \approx 4{,}0608\\ \mathrm{kg/m^3}.
Expliquei cada termo: numerador em Pa, denominador em \mathrm{J/(kg)} = \mathrm{(Pa\cdot m^3)/(kg)}, unidades batem e resultam \mathrm{kg/m^3}.

Passo 5

Calcular a densidade do nitrogênio ( \mathrm{N_2}) nas mesmas condições:
  • Primeiro R_{\mathrm{N_2}}\,T:
R_{\mathrm{N_2}}\,T = 296{,}8\cdot 523{,}15 = 155\,270{,}92\\ \mathrm{J/(kg)}.
  • Agora a densidade:
\rho_{\mathrm{N_2}} = \frac{p}{R_{\mathrm{N_2}}\,T} = \frac{401\,300}{155\,270{,}92} \approx 2{,}5840\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 6

Relacionar vazão mássica com vazão volumétrica e densidade, e calcular as vazões mássicas de entrada:
Fórmula básica:
\dot m = \rho\,\dot V,
onde \dot m é vazão mássica ( \mathrm{kg/s}), \rho densidade ( \mathrm{kg/m^3}) e \dot V vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}).
  • Para A (CO _2):
\dot m_A = \rho_{\mathrm{CO_2}}\,\dot V_A = 4{,}0608 \times 4 = 16{,}2432\\ \mathrm{kg/s}.
  • Para B (N _2):
\dot m_B = \rho_{\mathrm{N_2}}\,\dot V_B = 2{,}5840 \times 3 = 7{,}7521\\ \mathrm{kg/s}.
(Arredondei as densidades com 4 casas decimais para manter a precisão; os produtos foram calculados em seguida.)

Passo 7

Vazão mássica no ponto C em regime permanente (continuidade de massa):
Em regime permanente e assumindo que não há acumulação de massa no tanque, a vazão mássica que sai (ou que está misturada no tanque) é a soma das vazões mássicas de entrada:
\dot m_C = \dot m_A + \dot m_B.
Substituindo os valores:
\dot m_C = 16{,}2432 + 7{,}7521 = 23{,}9953\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando adequadamente (duas casas significativas compatíveis com dados dados), obtemos \dot m_C \approx 24{,}0\\ \mathrm{kg/s}.

Resposta

\dot m_{C} \approx 24{,}0\\ \mathrm{kg/s}

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