07 - O ponto A do eixo de um conduto com
situa-se 122 m acima do plano de referência. A tubulação sai de “A” e termina no fundo de um reservatório cuja cota é 152,5 m referida ao mesmo plano. Se a linha de carga passar a 45,75 m acima de “A” e o nível d’água estiver 9,15 m acima do fundo, qual a vazão que alimentará o reservatório?
Dados:
e
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (listei tudo claramente):
- Diâmetro da tubulação:
. - Cota do ponto
: (referida ao plano). - O fundo do reservatório tem cota
. - O nível d’água está
acima do fundo do reservatório. - A linha de carga (piezométrica) passa a
acima de . - Fator de atrito de Darcy:
. - Comprimento da tubulação:
. - Constante da gravidade
(usar quando necessário).
O que o problema pede:
- Determinar a vazão
que alimenta o reservatório.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Linha de carga (piezométrica) e linha de energia:
- A linha de carga (HGL) corresponde à altura de
. Quando a HGL é dada acima de um ponto, isso significa o valor do cabeço piezométrico naquele ponto. - A linha de energia (EGL) é a HGL mais a carga cinética
.
- Equação de Bernoulli para escoamento entre dois pontos (sem bombas e sem trocas de energia externas), incluindo perda por atrito:
onde
e
é a perda de carga por atrito.
- Perda de carga por atrito (fórmula de Darcy–Weisbach):
onde:
-
é o coeficiente de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento da tubulação, -
é o diâmetro, -
é a velocidade média do escoamento.
- Relação entre vazão
e velocidade :
onde
é a área da seção transversal.
Vamos aplicar essas ideias entre o ponto
(na boca da tubulação) e a superfície livre do reservatório.
Passo 3
Calcular as cotas e cabeços conhecidos a partir dos dados:
- Cota do fundo do reservatório:
(dado). - Nível d’água:
acima do fundo, logo cota da superfície livre:
- A linha de carga passa a
acima de . Portanto o cabeço piezométrico em (altura da HGL) mede:
Observação qualitativa: a HGL em
(
) está acima da superfície livre do reservatório (
), por isso há energia disponível para vencer a elevação e as perdas por atrito — o escoamento existe.
Passo 4
Aplicar Bernoulli entre o ponto
(piped entrance) e a superfície livre do reservatório (grande seção com velocidade praticamente nula).
- No reservatório, como é superfície livre, a pressão é atmosférica (
referida) e a velocidade é praticamente zero ( ). Assim a EGL no reservatório é simplesmente . - No ponto
, a HGL está a ; a energia total (EGL) em é a HGL mais a carga cinética .
Bernoulli (EGL em
= EGL no reservatório + perdas):
Substituindo
e
:
Passo 5
Isolar a carga cinética
. Defina
. Então a equação vira:
Rearranjando:
É equivalente escrever
Passo 6
Calcular
:
Logo
Substituindo na expressão de
:
Passo 7
Calcular a velocidade
a partir de
:
Passo 8
Calcular a vazão
. Área da seção:
Vazão:
(em litros por segundo:
).
Passo 9
Verificação rápida de plausibilidade (sem cálculos formais): velocidade pequena (
) e perda por atrito muito grande devido ao comprimento longo, então uma vazão da ordem de algumas dezenas de litros por segundo é razoável. Segura e sem surpresa.