07 - O ponto A do eixo de um conduto com \mathrm{D}=300 \mathrm{~mm} situa-se 122 m acima do plano de referência. A tubulação sai de “A” e termina no fundo de um reservatório cuja cota é 152,5 m referida ao mesmo plano. Se a linha de carga passar a 45,75 m acima de “A” e o nível d’água estiver 9,15 m acima do fundo, qual a vazão que alimentará o reservatório?
Dados: f=0,02 e \mathrm{L}=3593,50 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (listei tudo claramente):
  • Diâmetro da tubulação: D=0{,}300\\ \mathrm{m}.
  • Cota do ponto A: z_A=122{,}00\\ \mathrm{m} (referida ao plano).
  • O fundo do reservatório tem cota 152{,}5\\ \mathrm{m}.
  • O nível d’água está 9{,}15\\ \mathrm{m} acima do fundo do reservatório.
  • A linha de carga (piezométrica) passa a 45{,}75\\ \mathrm{m} acima de A.
  • Fator de atrito de Darcy: f=0{,}02.
  • Comprimento da tubulação: L=3593{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Constante da gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} (usar quando necessário).
O que o problema pede:
  • Determinar a vazão Q que alimenta o reservatório.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  1. Linha de carga (piezométrica) e linha de energia:
  • A linha de carga (HGL) corresponde à altura de z + \dfrac{p}{\rho g}. Quando a HGL é dada acima de um ponto, isso significa o valor do cabeço piezométrico naquele ponto.
  • A linha de energia (EGL) é a HGL mais a carga cinética \dfrac{v^2}{2g}.
  1. Equação de Bernoulli para escoamento entre dois pontos (sem bombas e sem trocas de energia externas), incluindo perda por atrito:
\text{EGL}_1=\text{EGL}_2 + h_f,
onde \text{EGL} = z + \dfrac{p}{\rho g} + \dfrac{v^2}{2g} e h_f é a perda de carga por atrito.
  1. Perda de carga por atrito (fórmula de Darcy–Weisbach):
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g},
onde:
  • f é o coeficiente de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento da tubulação,
  • D é o diâmetro,
  • v é a velocidade média do escoamento.
  1. Relação entre vazão Q e velocidade v:
Q = v \, A,\qquad A = \frac{\pi D^2}{4},
onde A é a área da seção transversal.
Vamos aplicar essas ideias entre o ponto A (na boca da tubulação) e a superfície livre do reservatório.

Passo 3

Calcular as cotas e cabeços conhecidos a partir dos dados:
  • Cota do fundo do reservatório: z_\text{fundo}=152{,}5\\ \mathrm{m} (dado).
  • Nível d’água: 9{,}15\\ \mathrm{m} acima do fundo, logo cota da superfície livre:
z_\text{superf} = 152{,}5 + 9{,}15 = 161{,}65\\ \mathrm{m}.
  • A linha de carga passa a 45{,}75\\ \mathrm{m} acima de A. Portanto o cabeço piezométrico em A (altura da HGL) mede:
\text{HGL em }A = z_A + 45{,}75 = 122{,}00 + 45{,}75 = 167{,}75\\ \mathrm{m}.
Observação qualitativa: a HGL em A ( 167{,}75\\ \mathrm{m}) está acima da superfície livre do reservatório ( 161{,}65\\ \mathrm{m}), por isso há energia disponível para vencer a elevação e as perdas por atrito — o escoamento existe.

Passo 4

Aplicar Bernoulli entre o ponto A (piped entrance) e a superfície livre do reservatório (grande seção com velocidade praticamente nula).
  • No reservatório, como é superfície livre, a pressão é atmosférica ( p=0 referida) e a velocidade é praticamente zero ( v\approx 0). Assim a EGL no reservatório é simplesmente z_\text{superf}.
  • No ponto A, a HGL está a 167{,}75\\ \mathrm{m}; a energia total (EGL) em A é a HGL mais a carga cinética \dfrac{v^2}{2g}.
Bernoulli (EGL em A = EGL no reservatório + perdas):
167{,}75 + \frac{v^2}{2g} = z_\text{superf} + h_f.
Substituindo z_\text{superf}=161{,}65\\ \mathrm{m} e h_f=f\frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}:
167{,}75 + \frac{v^2}{2g} = 161{,}65 + f\frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}.

Passo 5

Isolar a carga cinética \dfrac{v^2}{2g}. Defina h_v=\dfrac{v^2}{2g}. Então a equação vira:
167{,}75 + h_v = 161{,}65 + f\frac{L}{D}\,h_v.
Rearranjando:
h_v\bigl(1 - f\frac{L}{D}\bigr) = 161{,}65 - 167{,}75 = -6{,}10.
É equivalente escrever
h_v = \frac{167{,}75 - 161{,}65}{f\frac{L}{D} - 1} = \frac{6{,}10}{f\frac{L}{D} - 1}.

Passo 6

Calcular f\frac{L}{D}:
\frac{L}{D}=\frac{3593{,}50}{0{,}300}=11978{,}333\ldots
f\frac{L}{D}=0{,}02\times11978{,}333\ldots =239{,}566666\ldots
Logo
f\frac{L}{D}-1 =238{,}566666\ldots
Substituindo na expressão de h_v:
h_v=\frac{6{,}10}{238{,}566666\ldots}=0{,}02557\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox.})

Passo 7

Calcular a velocidade v a partir de h_v=\dfrac{v^2}{2g}:
v=\sqrt{2 g h_v}=\sqrt{2\cdot9{,}81\cdot0{,}02557}\approx0{,}7083\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Calcular a vazão Q. Área da seção:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}300)^2}{4}=\pi\cdot0{,}0225\approx0{,}0706858\\ \mathrm{m^2}.
Vazão:
Q = vA \approx 0{,}7083\times0{,}0706858 \approx 0{,}05006\\ \mathrm{m^3/s}.
(em litros por segundo: Q\approx50{,}06\\ \mathrm{L/s}).

Passo 9

Verificação rápida de plausibilidade (sem cálculos formais): velocidade pequena ( \sim0{,}7\\ \mathrm{m/s}) e perda por atrito muito grande devido ao comprimento longo, então uma vazão da ordem de algumas dezenas de litros por segundo é razoável. Segura e sem surpresa.

Resposta

Q \approx 0{,}05006\\ \mathrm{m^3/s}
Q \approx 50{,}06\\ \mathrm{L/s}

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