08 - Se a amostra é grande o suficiente, a distribuição amostral da proporção amostral pode ser aproximada por uma distribuição normal com média
e desvio padrão
.
Verdadeiro
Falso
Passo 1
O enunciado afirma que, se a amostra é grande o suficiente, a distribuição amostral da proporção amostral pode ser aproximada por uma distribuição normal com média
e desvio padrão
.
Pergunta: Isso é verdadeiro ou falso?
Informações dadas (explicitamente no enunciado):
Pergunta: Isso é verdadeiro ou falso?
Informações dadas (explicitamente no enunciado):
- Existe uma proporção verdadeira da população, denotada por
. - Há uma amostra de tamanho
. - Para amostras grandes, fala-se em aproximação por normal com média
e desvio padrão .
Passo 2
O que é a proporção amostral e como ela se relaciona com variáveis Bernoulli.
- Considere cada observação da amostra como uma variável aleatória
que vale se o evento de interesse ocorrer e caso contrário. Cada segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro . - A proporção amostral
é a média dessas observações:
Explicação intuitiva:
conta a fração de sucessos na amostra; escrever como média de Bernoulli permite usar propriedades de esperança e variância de somas.
Passo 3
Cálculo da esperança (média) de
.
- Para cada
, temos . - Usando linearidade da esperança:
Interpretação: em média, a proporção amostral acerta o valor da proporção populacional
— ou seja,
é um estimador não-viesado de
.
Passo 4
Cálculo da variância e do desvio padrão de
.
- Para Bernoulli,
. Supondo as observações independentes (amostra aleatória simples), a variância da soma é soma das variâncias. - Então:
- O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Isso mostra que a fórmula do enunciado para média e desvio padrão está correta, desde que as hipóteses (independência, etc.) sejam válidas.
Passo 5
Por que a distribuição de
pode ser aproximada por uma normal quando
é grande (CLT) e condições necessárias.
- A proporção amostral é a média de
variáveis independentes identicamente distribuídas ( ). Pelo Teorema Central do Limite (TCL), a distribuição dessa média tende a uma normal quando cresce, independentemente da distribuição individual, desde que a variância seja finita. - Portanto, para amostras grandes,
é aproximadamente normal com média e desvio padrão . - Condições práticas (regras de bolso) para a aproximação ser razoável: normalmente exige-se que
e (algumas fontes usam em vez de ). Essas condições garantem que haja número suficiente de sucessos e fracassos para reduzir a assimetria discreta. - Observação sobre amostragem sem reposição: se a amostra vem de uma população finita sem reposição, é preciso também que
(ou usar correção de população finita), caso contrário a independência entre falha e a fórmula precisa ser ajustada.
Passo 6
Conclusão com ressalvas e resposta direta.
- A afirmação do enunciado está correta em essência: para amostras grandes e sob condições usuais (independência/aleatoriedade e
e suficientemente grandes), a distribuição amostral da proporção amostral pode ser aproximada por uma normal com média e desvio padrão . - As principais ressalvas que eu lembraria na prova: verificar as condições
e (ou critério similar) e considerar correção para população finita se for o caso. Fora isso, trate a afirmação como verdadeira.
Resposta
Verdadeiro