08 - Se a amostra é grande o suficiente, a distribuição amostral da proporção amostral pode ser aproximada por uma distribuição normal com média p e desvio padrão \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
\bigcirc Verdadeiro \bigcirc Falso

Passo 1

O enunciado afirma que, se a amostra é grande o suficiente, a distribuição amostral da proporção amostral pode ser aproximada por uma distribuição normal com média \!p\! e desvio padrão \!\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\!.
Pergunta: Isso é verdadeiro ou falso?
Informações dadas (explicitamente no enunciado):
  • Existe uma proporção verdadeira da população, denotada por \!p\!.
  • Há uma amostra de tamanho \!n\!.
  • Para amostras grandes, fala-se em aproximação por normal com média \!p\! e desvio padrão \!\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\!.

Passo 2

O que é a proporção amostral e como ela se relaciona com variáveis Bernoulli.
  • Considere cada observação da amostra como uma variável aleatória \!X_i\! que vale \!1\! se o evento de interesse ocorrer e \!0\! caso contrário. Cada \!X_i\! segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro \!p\!.
  • A proporção amostral \!\hat{p}\! é a média dessas \!n\! observações:
\hat{p}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i.
Explicação intuitiva: \hat{p} conta a fração de sucessos na amostra; escrever como média de Bernoulli permite usar propriedades de esperança e variância de somas.

Passo 3

Cálculo da esperança (média) de \!\hat{p}\!.
  • Para cada \!X_i\!, temos \mathbb{E}[X_i]=p.
  • Usando linearidade da esperança:
\mathbb{E}[\hat{p}] = \mathbb{E}\!\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i] = \frac{1}{n}\cdot n p = p.
Interpretação: em média, a proporção amostral acerta o valor da proporção populacional \!p\! — ou seja, \hat{p} é um estimador não-viesado de \!p\!.

Passo 4

Cálculo da variância e do desvio padrão de \!\hat{p}\!.
  • Para Bernoulli, \mathrm{Var}(X_i)=p(1-p). Supondo as observações independentes (amostra aleatória simples), a variância da soma é soma das variâncias.
  • Então:
\mathrm{Var}(\hat{p})=\mathrm{Var}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) =\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \mathrm{Var}(X_i) =\frac{1}{n^2}\cdot n\cdot p(1-p) =\frac{p(1-p)}{n}.
  • O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\mathrm{sd}(\hat{p})=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
Isso mostra que a fórmula do enunciado para média e desvio padrão está correta, desde que as hipóteses (independência, etc.) sejam válidas.

Passo 5

Por que a distribuição de \!\hat{p}\! pode ser aproximada por uma normal quando \!n\! é grande (CLT) e condições necessárias.
  • A proporção amostral é a média de \!n\! variáveis independentes identicamente distribuídas ( \!X_i\!). Pelo Teorema Central do Limite (TCL), a distribuição dessa média tende a uma normal quando \!n\! cresce, independentemente da distribuição individual, desde que a variância seja finita.
  • Portanto, para amostras grandes, \!\hat{p}\! é aproximadamente normal com média \!p\! e desvio padrão \!\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\!.
  • Condições práticas (regras de bolso) para a aproximação ser razoável: normalmente exige-se que \!np \ge 10\! e \!n(1-p) \ge 10\! (algumas fontes usam \!5\! em vez de \!10\!). Essas condições garantem que haja número suficiente de sucessos e fracassos para reduzir a assimetria discreta.
  • Observação sobre amostragem sem reposição: se a amostra vem de uma população finita sem reposição, é preciso também que \!n \le 0{,}1N\! (ou usar correção de população finita), caso contrário a independência entre \!X_i\! falha e a fórmula precisa ser ajustada.

Passo 6

Conclusão com ressalvas e resposta direta.
  • A afirmação do enunciado está correta em essência: para amostras grandes e sob condições usuais (independência/aleatoriedade e \!np e \!n(1-p) suficientemente grandes), a distribuição amostral da proporção amostral pode ser aproximada por uma normal com média \!p\! e desvio padrão \!\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\!.
  • As principais ressalvas que eu lembraria na prova: verificar as condições \!np\ge 10\! e \!n(1-p)\ge 10\! (ou critério similar) e considerar correção para população finita se for o caso. Fora isso, trate a afirmação como verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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