Para uma amostra de tamanho n=100 com 60 sucessos, a proporção amostral é \hat{p}=0,60. Essa é a estimativa pontual para a proporção populacional p.

Overdadeiro

\bigcirc Falso

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Informação: tamanho da amostra n=100.
  • Informação: número de sucessos na amostra X=60.
  • Informação: a proporção amostral foi apresentada como \hat{p}=0,60.
  • Pergunta: a frase “Essa é a estimativa pontual para a proporção populacional p.” é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Definição operacional: a proporção amostral \hat{p} é definida como a razão entre o número de sucessos observados X e o tamanho da amostra n. Ou seja,
\hat{p}=\frac{X}{n}.
Aqui X é a contagem de sucessos na amostra (um número inteiro entre 0 e n) e n é o total de observações da amostra.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dados fornecidos:
\hat{p}=\frac{X}{n}=\frac{60}{100}=0,60.
Logo a conta está consistente com o enunciado: a proporção amostral é de 0,60.

Passo 4

Conceito: “estimativa pontual” significa um único número usado como estimador do parâmetro populacional. Um “estimador” é uma regra (função dos dados) que fornece essa estimativa. A proporção amostral \hat{p}=\dfrac{X}{n} é exatamente a regra clássica usada como estimador pontual para a proporção populacional p. Portanto, por definição, \hat{p} é uma estimativa pontual de p.

Passo 5

Propriedade importante (útil na prova): se X segue uma distribuição binomial \mathrm{Binomial}(n,p) (o que é o modelo usual quando contamos sucessos independentes com probabilidade p), então
\mathbb{E}[X]=n p.
Dividindo por n obtemos a esperança do estimador:
\mathbb{E}[\hat{p}]=\mathbb{E}\!\left[\frac{X}{n}\right]=\frac{\mathbb{E}[X]}{n}=p.
Isto mostra que \hat{p} é um estimador não viciado (unbiased) de p — mais motivo para considerá-lo uma estimativa pontual apropriada.

Passo 6

Também é útil saber a variabilidade desse estimador: a variância de \hat{p} é
\mathrm{Var}(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}.
Como p é desconhecido, na prática usamos a estimativa plug-in substituindo p por \hat{p} para obter o erro padrão estimado:
\widehat{\mathrm{se}}(\hat{p})=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0,60\cdot 0,40}{100}}=\sqrt{0,0024}\approx 0,049.
Isso te dá uma noção de quanto a proporção amostral pode variar em amostras diferentes de mesmo tamanho.

Passo 7

Conclusão final do raciocínio: a afirmação “Essa é a estimativa pontual para a proporção populacional p.” está correta — a proporção amostral \hat{p} é exatamente a estimativa pontual padrão para p.

Resposta

Verdadeiro

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