O Clube Atlético Mineiro (CAM) e o Cruzeiro Esporte Clube (CEC) irão contratar, cada um, 10 pessoas para trabalharem nas sedes de seus respectivos clubes sociais. Previamente, foram selecionadas 20 pessoas, sendo que 8 são atleticanas, 5 são cruzeirenses e 7 não torcem para nenhum dos dois times. Qual a probabilidade de que, ao se distribuir as 20 pessoas entre os dois times ( 10 pessoas em cada), os atleticanos sejam contratados pelo CAM e os cruzeirenses pelo CEC?

Passo 1

O enunciado: foram selecionadas 20 pessoas, sendo 8 atleticanas, 5 cruzeirenses e 7 neutras. O CAM e o CEC vão contratar, cada um, 10 pessoas (ou seja, vamos dividir as 20 pessoas em dois grupos rotulados de 10 cada: um grupo para o CAM e outro para o CEC). A pergunta é: qual a probabilidade de que todos os atleticanos sejam contratados pelo CAM e todos os cruzeirenses pelo CEC?
Informações relevantes listadas:
  • Total de pessoas: 20.
  • Atleticanos: 8.
  • Cruzeirenses: 5.
  • Neutros: 7.
  • Cada clube contrata 10 pessoas (ou seja, escolhemos 10 pessoas para o CAM; o restante vai para o CEC).
  • Evento desejado: os 8 atleticanos estão todos em CAM e os 5 cruzeirenses estão todos em CEC (portanto os 7 neutros se distribuem completando as vagas).

Passo 2

Entendendo o espaço amostral (todas as distribuições igualmente prováveis): como cada pessoa é distinta e os grupos são rotulados (CAM e CEC), uma maneira natural de contar as possibilidades é escolher quais 10 pessoas vão para o CAM; as restantes 10 irão para o CEC. Portanto o número total de distribuições possíveis é o número de subconjuntos de tamanho 10 de um conjunto de 20 elementos, isto é:
\binom{20}{10}.
Vou explicar a fórmula: \binom{n}{k} (lê-se “n escolhe k”) conta o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n sem considerar ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! significa n fatorial, isto é, n!=n\cdot(n-1)\cdots1.

Passo 3

Contando os casos favoráveis: queremos que os 8 atleticanos estejam todos no CAM e os 5 cruzeirenses estejam todos no CEC. Essas colocações dos atleticanos e cruzeirenses ficam fixas se exigimos o evento. Após colocar os 8 atleticanos no CAM, o CAM ainda precisa completar 10-8=2 vagas; após colocar os 5 cruzeirenses no CEC, o CEC ainda precisa completar 10-5=5 vagas. Restam exatamente os 7 neutros para preencher essas 2+5=7 vagas. Logo, os únicos graus de liberdade para obter um caso favorável é escolher quais 2 dos 7 neutros vão para o CAM (os outros 5 irão para o CEC). Assim, o número de casos favoráveis é
\binom{7}{2}.
Explicando \binom{7}{2}: é o número de maneiras de escolher 2 neutros dentre 7, e
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21.

Passo 4

Agora colocamos tudo junto para obter a probabilidade: probabilidade =\dfrac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}}á. Assim
P=\frac{\binom{7}{2}}{\binom{20}{10}}.
Vamos avaliar numericamente \binom{20}{10}. Usando a definição,
\binom{20}{10}=\frac{20!}{10!\,10!}=184756.
Portanto
P=\frac{21}{184756}.

Passo 5

Interpretação numérica e verificação rápida: podemos converter para decimal para ter uma noção do quão provável é o evento:
\frac{21}{184756}\approx 0,000113678.
Isso mostra que o evento é bastante raro — faz sentido: exigir que todos os atleticanos fiquem exatamente em um clube e todos os cruzeirenses no outro é uma restrição forte.

Resposta

\displaystyle \frac{21}{\binom{20}{10}}=\frac{21}{184756}\approx 0,000113678

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