O Clube Atlético Mineiro (CAM) e o Cruzeiro Esporte Clube (CEC) irão contratar, cada um, 10 pessoas para trabalharem nas sedes de seus respectivos clubes sociais. Previamente, foram selecionadas 20 pessoas, sendo que 8 são atleticanas, 5 são cruzeirenses e 7 não torcem para nenhum dos dois times. Qual a probabilidade de que, ao se distribuir as 20 pessoas entre os dois times ( 10 pessoas em cada), os atleticanos sejam contratados pelo CAM e os cruzeirenses pelo CEC?
Passo 1
O enunciado: foram selecionadas
pessoas, sendo
atleticanas,
cruzeirenses e
neutras. O CAM e o CEC vão contratar, cada um,
pessoas (ou seja, vamos dividir as
pessoas em dois grupos rotulados de
cada: um grupo para o CAM e outro para o CEC). A pergunta é: qual a probabilidade de que todos os atleticanos sejam contratados pelo CAM e todos os cruzeirenses pelo CEC?
Informações relevantes listadas:
- Total de pessoas:
. - Atleticanos:
. - Cruzeirenses:
. - Neutros:
. - Cada clube contrata
pessoas (ou seja, escolhemos pessoas para o CAM; o restante vai para o CEC). - Evento desejado: os
atleticanos estão todos em CAM e os cruzeirenses estão todos em CEC (portanto os neutros se distribuem completando as vagas).
Passo 2
Entendendo o espaço amostral (todas as distribuições igualmente prováveis): como cada pessoa é distinta e os grupos são rotulados (CAM e CEC), uma maneira natural de contar as possibilidades é escolher quais
pessoas vão para o CAM; as restantes
irão para o CEC. Portanto o número total de distribuições possíveis é o número de subconjuntos de tamanho
de um conjunto de
elementos, isto é:
Vou explicar a fórmula:
(lê-se “n escolhe k”) conta o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de
sem considerar ordem. A fórmula é
onde
significa
fatorial, isto é,
.
Passo 3
Contando os casos favoráveis: queremos que os
atleticanos estejam todos no CAM e os
cruzeirenses estejam todos no CEC. Essas colocações dos atleticanos e cruzeirenses ficam fixas se exigimos o evento. Após colocar os
atleticanos no CAM, o CAM ainda precisa completar
vagas; após colocar os
cruzeirenses no CEC, o CEC ainda precisa completar
vagas. Restam exatamente os
neutros para preencher essas
vagas. Logo, os únicos graus de liberdade para obter um caso favorável é escolher quais
dos
neutros vão para o CAM (os outros
irão para o CEC). Assim, o número de casos favoráveis é
Explicando
: é o número de maneiras de escolher
neutros dentre
, e
Passo 4
Agora colocamos tudo junto para obter a probabilidade: probabilidade
. Assim
Vamos avaliar numericamente
. Usando a definição,
Portanto
Passo 5
Interpretação numérica e verificação rápida: podemos converter para decimal para ter uma noção do quão provável é o evento:
Isso mostra que o evento é bastante raro — faz sentido: exigir que todos os atleticanos fiquem exatamente em um clube e todos os cruzeirenses no outro é uma restrição forte.