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Solução:
/ (
), se
Passo 1
O enunciado pede que encontremos a solução da condição inicial dada. Dados e o que se pede:
Procuramos a solução explícita
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial, e o intervalo de
onde essa solução é válida.
Passo 2
Vamos separar variáveis — ou seja, colocar os termos envolvendo
de um lado e os termos envolvendo
do outro. Começamos escrevendo
e, supondo que
na vizinhança do ponto inicial (isso é verdade aqui porque
), podemos dividir por
:
Explicação didática: separar variáveis significa tratar
como uma razão e rearranjar para integrar cada lado em relação à sua variável. Isso é permitido localmente porque
.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Use a fórmula
e a integral polinomial padrão para o lado direito:
onde
é constante de integração. Observação sobre constantes: qualquer constante à direita pode ser combinada, então escrevemos essa única
.
Passo 4
Isolamos
. Multiplicando por
obtemos
onde
é outra constante arbitrária. Escrevendo de forma mais clara,
Agora invertendo,
Explicação didática: inverter
é seguro porque, novamente, na solução procurada
não é zero no ponto inicial; a forma racional é a inversa da expressão linear em
.
Passo 5
Aplique a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Logo
, portanto
. Substituindo de volta na expressão geral,
Verificação rápida do valor inicial:
, que coincide com a condição dada.
Passo 6
Determinamos o maior intervalo de existência contendo
. A solução encontrada é indefinida quando o denominador se anula, isto é, onde
Fatorando,
portanto as raízes são
e
. O ponto inicial
fica entre
e
, então o maior intervalo aberto contíguo a
onde a solução é bem definida é
Explicação didática: a solução perde significado onde o denominador é zero (explosão vertical). O teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf) garante unicidade da solução local porque a função
e sua derivada parcial em
são contínuas em qualquer região que não contenha as singularidades; por isso a solução encontrada é a única que satisfaz a condição inicial e existe até os pontos
e
.
Passo 7
Cheque rápido diferenciando a solução para confirmar que ela satisfaz a EDO. Tome
Derivando por regra da cadeia:
Como
, segue
ou seja, a solução satisfaz a equação diferencial.