(08) \mathrm{y}^{\prime}=(1-2 \mathrm{x}) \mathrm{y}^{2}, \mathrm{y}(0)=-1 / 6 \quad Solução: y=1 / ( x^{2}-x-6 ), se -2<x<3

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a solução da condição inicial dada. Dados e o que se pede:
\text{Equação: }\; y'=(1-2x)y^{2}çã
\text{Condição inicial: }\; y(0)=-\tfrac{1}{6}çã
Procuramos a solução explícita y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial, e o intervalo de x onde essa solução é válida.

Passo 2

Vamos separar variáveis — ou seja, colocar os termos envolvendo y de um lado e os termos envolvendo x do outro. Começamos escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx} e, supondo que y\neq0 na vizinhança do ponto inicial (isso é verdade aqui porque y(0)=-\tfrac{1}{6}\neq0), podemos dividir por y^{2}:
\frac{dy}{dx}=(1-2x)y^{2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{2}}=(1-2x)\,dx.
Explicação didática: separar variáveis significa tratar \dfrac{dy}{dx} como uma razão e rearranjar para integrar cada lado em relação à sua variável. Isso é permitido localmente porque y(0)\neq0.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Use a fórmula \displaystyle\int y^{-2}\,dy=-y^{-1}+C e a integral polinomial padrão para o lado direito:
\int \frac{dy}{y^{2}}=\int (1-2x)\,dx
-\,\frac{1}{y}=x - x^{2} + C,
onde C é constante de integração. Observação sobre constantes: qualquer constante à direita pode ser combinada, então escrevemos essa única C.

Passo 4

Isolamos y. Multiplicando por -1 obtemos
\frac{1}{y}=-x + x^{2} + C_{1},
onde C_{1}=-C é outra constante arbitrária. Escrevendo de forma mais clara,
\frac{1}{y}=x^{2}-x + C_{1}.
Agora invertendo,
y=\frac{1}{x^{2}-x + C_{1}}.
Explicação didática: inverter \dfrac{1}{y} é seguro porque, novamente, na solução procurada y não é zero no ponto inicial; a forma racional é a inversa da expressão linear em x^{2}-x.

Passo 5

Aplique a condição inicial y(0)=-\tfrac{1}{6} para determinar C_{1}. Substituindo x=0:
y(0)=\frac{1}{0^{2}-0 + C_{1}}=\frac{1}{C_{1}}=-\tfrac{1}{6}.
Logo \dfrac{1}{C_{1}}=-\tfrac{1}{6}, portanto C_{1}=-6. Substituindo de volta na expressão geral,
y=\frac{1}{x^{2}-x-6}.
Verificação rápida do valor inicial: \displaystyle y(0)=\frac{1}{-6}=-\tfrac{1}{6}, que coincide com a condição dada.

Passo 6

Determinamos o maior intervalo de existência contendo x=0. A solução encontrada é indefinida quando o denominador se anula, isto é, onde
x^{2}-x-6=0.
Fatorando,
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2),
portanto as raízes são x=3 e x=-2. O ponto inicial x=0 fica entre -2 e 3, então o maior intervalo aberto contíguo a 0 onde a solução é bem definida é
-2<x<3.
Explicação didática: a solução perde significado onde o denominador é zero (explosão vertical). O teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf) garante unicidade da solução local porque a função f(x,y)=(1-2x)y^{2} e sua derivada parcial em y são contínuas em qualquer região que não contenha as singularidades; por isso a solução encontrada é a única que satisfaz a condição inicial e existe até os pontos x=-2 e x=3.

Passo 7

Cheque rápido diferenciando a solução para confirmar que ela satisfaz a EDO. Tome
y=(x^{2}-x-6)^{-1}.
Derivando por regra da cadeia:
y'=-1\cdot(2x-1)\,(x^{2}-x-6)^{-2}=\frac{1-2x}{(x^{2}-x-6)^{2}}.
Como y^{2}=\dfrac{1}{(x^{2}-x-6)^{2}}, segue
y'=(1-2x)y^{2},
ou seja, a solução satisfaz a equação diferencial.

Resposta

\displaystyle y=\frac{1}{x^{2}-x-6}
-2<x<3

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