08 Prove que se a_{n} \leq b_{n} são sequências tais que \lim a_{n}=a e \lim b_{n}=b, então a \leq b.
(Dica1: Suponha, por absurdo, que a>b, então tome \epsilon= a-b>0 e use a definição de sequência convergente)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existem duas sequências \{a_n\} e \{b_n\} tais que, para todo n, \;a_n \leq b_n.)
  • As sequências convergem: \lim a_n = a e \lim b_n = b.
O que se pede: provar que \;a \leq b.

Passo 2

Vamos tentar provar por contradição. Suponha, ao contrário do que queremos, que
a>b.
Como a e b são números reais, isso significa que a diferença a-b é um número positivo. Para trabalhar com a definição \emph{épsilon} de convergência, é conveniente tomar metade dessa diferença: defina
\epsilon=\frac{a-b}{2}.
Observe que \epsilon>0 porque a-b>0 pela hipótese de contradição.

Passo 3

Lembrando a definição de convergência de sequência (aqui uma explicação curta e clara): dizer que \lim a_n = a significa que
\text{para todo } \epsilon'>0 \text{ existe } N_1 \text{ tal que, para todo } n\ge N_1,\; |a_n-a|<\epsilon'.
Analogamente, \lim b_n = b significa que
\text{para todo } \epsilon'>0 \text{ existe } N_2 \text{ tal que, para todo } n\ge N_2,\; |b_n-b|<\epsilon'.
Estas são as ferramentas que vamos usar com \epsilon'=\epsilon escolhido acima.

Passo 4

Aplicando a definição com \epsilon'=\epsilon obtemos:
  • existe N_1 tal que, para todo n\ge N_1,
|a_n-a|<\epsilon \quad\Rightarrow\quad a-\epsilon < a_n < a+\epsilon.
  • existe N_2 tal que, para todo n\ge N_2,
|b_n-b|<\epsilon \quad\Rightarrow\quad b-\epsilon < b_n < b+\epsilon.
Defina N=\max\{N_1,N_2\}. Então, para todo n\ge N valem simultaneamente as duas desigualdades acima.

Passo 5

Agora fazemos as contas simples para ver onde isso nos leva. Como \epsilon=(a-b)/2, temos
a-\epsilon = a-\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}, \qquad b+\epsilon = b+\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}.
Logo, para todo n\ge N,
a_n > a-\epsilon = \frac{a+b}{2} \quad\text{e}\quad b_n < b+\epsilon = \frac{a+b}{2}.
Isto implica, para todo n\ge N,
a_n > \frac{a+b}{2} > b_n.
Portanto, para todo n\ge N temos a_n> b_n.

Passo 6

Mas isso contradiz a hipótese inicial de que \;a_n \leq b_n para todo n. Obtivemos a_n>b_n para todos n suficientemente grandes, o que não é possível se cada termo satisfaz a_n\le b_n. A contradição vem da hipótese a>b.
Logo a hipótese de contradição é falsa, e devemos ter
a \leq b.

Resposta

\;a \leq b

Exercícios relacionados