08 Prove que se
são sequências tais que
e
, então
.
(Dica1: Suponha, por absurdo, que
, então tome
e use a definição de sequência convergente)
(Dica1: Suponha, por absurdo, que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Existem duas sequências
e tais que, para todo , .) - As sequências convergem:
e .
O que se pede: provar que
.
Passo 2
Vamos tentar provar por contradição. Suponha, ao contrário do que queremos, que
Como
e
são números reais, isso significa que a diferença
é um número positivo. Para trabalhar com a definição \emph{épsilon} de convergência, é conveniente tomar metade dessa diferença: defina
Observe que
porque
pela hipótese de contradição.
Passo 3
Lembrando a definição de convergência de sequência (aqui uma explicação curta e clara): dizer que
significa que
Analogamente,
significa que
Estas são as ferramentas que vamos usar com
escolhido acima.
Passo 4
Aplicando a definição com
obtemos:
- existe
tal que, para todo ,
- existe
tal que, para todo ,
Defina
. Então, para todo
valem simultaneamente as duas desigualdades acima.
Passo 5
Agora fazemos as contas simples para ver onde isso nos leva. Como
, temos
Logo, para todo
,
Isto implica, para todo
,
Portanto, para todo
temos
.
Passo 6
Mas isso contradiz a hipótese inicial de que
para todo
. Obtivemos
para todos
suficientemente grandes, o que não é possível se cada termo satisfaz
. A contradição vem da hipótese
.
Logo a hipótese de contradição é falsa, e devemos ter