Pela definição de sequência convergente prove que: \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n}{n+1}=1.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
Pede-se provar, pela definição de sequência convergente, que
\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1.
A sequência dada é a_n=\dfrac{n}{n+1} para n\in\mathbb{N}.
O objetivo é mostrar que os termos a_n se aproximam arbitrariamente de 1 quando n cresce, usando a definição formal de convergência (a definição com \varepsilon e N).
Passo 2
Recordando a definição de sequência convergente (a ferramenta que vamos usar).
Definição: dizemos que uma sequência (a_n) converge para L\in\mathbb{R} se, para todo \varepsilon>0 (um número real positivo arbitrariamente pequeno), existe um número natural N tal que, para todo n\in\mathbb{N} com n\ge N, vale
|a_n-L|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon representa a precisão que queremos (distância permitida até o limite L), e N é um índice após o qual todos os termos da sequência ficam dentro dessa precisão.
Passo 3
Aplicar a definição ao nosso caso: escrever a diferença entre a_n e o candidato a limite 1.
Assim, qualquer inteiro n maior que \dfrac{1}{\varepsilon}-1 satisfaz a desigualdade desejada.
Passo 5
Escolher um N inteiro que funcione para todo \varepsilon>0 e justificar por que funciona.
Uma escolha prática é
N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil,
onde \lceil x\rceil denota o menor inteiro maior ou igual a x.
Prova de que essa escolha funciona: por definição de teto, N=\lceil 1/\varepsilon\rceil satisfaz N\ge 1/\varepsilon. Então
N+1> \frac{1}{\varepsilon}.
Agora, para todo n\in\mathbb{N} com n\ge N temos n+1\ge N+1>\dfrac{1}{\varepsilon}, e portanto
\frac{1}{n+1}<\varepsilon.
Mas \dfrac{1}{n+1}=|a_n-1| (ver Passo 3), então para todo n\ge N vale |a_n-1|<\varepsilon. Isso é exatamente a condição da definição de convergência.
Passo 6
Concluir a prova e comentar rapidamente a ideia intuitiva.
Como mostramos que para qualquer \varepsilon>0 existe um inteiro N (especificamente N=\lceil 1/\varepsilon\rceil) tal que |a_n-1|<\varepsilon para todo n\ge N, pela definição a sequência \dfrac{n}{n+1} converge para 1.
Intuição rápida: \dfrac{n}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}; o termo subtraído é \dfrac{1}{n+1}, que vai a 0 quando n\to\infty, então o quociente tende a 1.