As sequências abaixo convergem, calcule o seu limite, usando as propriedades de limite de sequência (Teorema 1.8 do caderno).
a_{n}=n\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right), onde a>0 e a \neq 1.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \;a_{n}=n\bigl(a^{\frac{1}{n}}-1\bigr)\; com a informação \;a>0\; e \;a\neq1.
A pergunta é: calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}.

Passo 2

Primeiro observe que, por \;a>0\;, existe \ln a (logaritmo natural de a). Vou definir a constante
L=\ln a.
Note que \;a\neq1\; implica \;L\neq0 (pois \ln 1=0) — isso é só para avisar que L pode ser positivo ou negativo, mas está bem definido.

Passo 3

Escrevo a^{1/n} usando a exponencial, que é uma identidade básica: para qualquer x real vale e^{\ln x}=x (quando x>0). Assim
a^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{\ln a}{n}} = e^{\frac{L}{n}}.
Substituindo na sequência:
a_{n}=n\bigl(e^{\frac{L}{n}}-1\bigr).

Passo 4

Faço a mudança de variável \;x_n=\dfrac{L}{n}.; Então \;x_n\to0 quando n\to\infty (porque L é constante e n\to\infty). Reescrevo a_n em função de x_n:
a_{n}=n\bigl(e^{x_n}-1\bigr).
Agora manipulo para evidenciar uma expressão conhecida:
a_{n} = \frac{e^{x_n}-1}{x_n}\cdot\bigl(x_n n\bigr).
Mas x_n n = \dfrac{L}{n}\cdot n = L. Portanto
a_{n} = \frac{e^{x_n}-1}{x_n}\cdot L.

Passo 5

Vou usar duas propriedades de limites de sequências (essas são casos do Teorema 1.8 que tratam de soma/produto e de composição com função contínua):
  • Se x_n\to x então, sempre que a função f for contínua em x, tem-se f(x_n)\to f(x).
  • O limite do produto é o produto dos limites, quando ambos existem finitos.
Aplicando isso aqui: temos x_n\to0. A função g(x)=\dfrac{e^{x}-1}{x} (com a convenção g(0)=1) é contínua em 0 e satisfaz o limite clássico
\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1.
Logo, pela propriedade da composição,
\lim_{n\to\infty}\frac{e^{x_n}-1}{x_n}=1.

Passo 6

Voltando à expressão \;a_{n} = \dfrac{e^{x_n}-1}{x_n}\cdot L\;, aplico o limite e a propriedade do produto de limites:
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \left(\lim_{n\to\infty}\frac{e^{x_n}-1}{x_n}\right)\cdot L = 1\cdot L = L.
Lembrando que L=\ln a, segue que
\lim_{n\to\infty} n\bigl(a^{\frac{1}{n}}-1\bigr)=\ln a.

Passo 7

Comentário intuitivo rápido (para fixar): quando n é grande, a^{1/n} está muito próximo de 1, e a diferença a^{1/n}-1 é proporcional a \dfrac{\ln a}{n}. Multiplicando por n essa diferença, a proporção \ln a aparece como limite.

Resposta

\ln a

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