As sequências abaixo convergem, calcule o seu limite, usando as propriedades de limite de sequência (Teorema 1.8 do caderno).
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
com a informação
e
.
A pergunta é: calcular .
A pergunta é: calcular
Passo 2
Primeiro observe que, por
, existe
(logaritmo natural de
). Vou definir a constante
Note que
implica
(pois
) — isso é só para avisar que
pode ser positivo ou negativo, mas está bem definido.
Passo 3
Escrevo
usando a exponencial, que é uma identidade básica: para qualquer
real vale
(quando
). Assim
Substituindo na sequência:
Passo 4
Faço a mudança de variável
.; Então
quando
(porque
é constante e
). Reescrevo
em função de
:
Agora manipulo para evidenciar uma expressão conhecida:
Mas
. Portanto
Passo 5
Vou usar duas propriedades de limites de sequências (essas são casos do Teorema 1.8 que tratam de soma/produto e de composição com função contínua):
- Se
então, sempre que a função for contínua em , tem-se . - O limite do produto é o produto dos limites, quando ambos existem finitos.
Aplicando isso aqui: temos
. A função
(com a convenção
) é contínua em
e satisfaz o limite clássico
Logo, pela propriedade da composição,
Passo 6
Voltando à expressão
, aplico o limite e a propriedade do produto de limites:
Lembrando que
, segue que
Passo 7
Comentário intuitivo rápido (para fixar): quando
é grande,
está muito próximo de
, e a diferença
é proporcional a
. Multiplicando por
essa diferença, a proporção
aparece como limite.