[08] Sejam
\begin{gathered} W_{1}=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+3 y=0,2 z-w=0\right\} \\\ W_{2}=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y-2 z+w=0\right\} \end{gathered}
subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{4}. Determine a dimensão de W_{1}+W_{2} e uma base para esse subespaço vetorial. A soma de W_{1} e W_{2} é direta?

Passo 1

O enunciado define
W_{1}=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid x+3y=0,\;2z-w=0\},
W_{2}=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid x-2y-2z+w=0\}.
Queremos \dim(W_1+W_2), uma base de W_1+W_2 e verificar se a soma é direta. Vamos usar a fórmula de Grassmann
\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2),
além de parametrizar cada subespaço.

Passo 2

Para W_1 temos duas equações lineares independentes em \mathbb{R}^4, logo
\dim W_1=4-2=2.
Parametrizando: de x+3y=0 vem x=-3s e de 2z-w=0 vem w=2t. Assim
(x,y,z,w)=s(-3,1,0,0)+t(0,0,1,2),
ou seja uma base de W_1 é
v_1=(-3,1,0,0),\quad v_2=(0,0,1,2).

Passo 3

Para W_2 há uma única equação, então
\dim W_2=4-1=3.
Escrevendo y=a, z=b, w=c livres e x=2a+2b-c, obtemos
(x,y,z,w)=a(2,1,0,0)+b(2,0,1,0)+c(-1,0,0,1),
logo uma base de W_2 é
v_3=(2,1,0,0),\quad v_4=(2,0,1,0),\quad v_5=(-1,0,0,1).

Passo 4

Para W_1\cap W_2 juntamos as três equações:
\begin{cases} x+3y=0,\\\\ 2z-w=0,\\\ x-2y-2z+w=0. \end{cases}
O posto desse sistema é 3, logo
\dim(W_1\cap W_2)=4-3=1.

Passo 5

Aplicando Grassmann:
\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2) =2+3-1=4.
Como o espaço ambiente é \mathbb{R}^4, concluímos que W_1+W_2=\mathbb{R}^4.

Passo 6

Para formar uma base de W_1+W_2 podemos tomar dois vetores de W_1 e dois de W_2 que sejam linearmente independentes. Por exemplo,
v_1=(-3,1,0,0),\; v_2=(0,0,1,2),\; v_3=(2,1,0,0),\; v_4=(2,0,1,0)
são quatro vetores independentes que geram todo \mathbb{R}^4.

Passo 7

A soma é direta se e somente se W_1\cap W_2=\{0\}. Como \dim(W_1\cap W_2)=1\neq0, a soma não é direta.

Resposta

\dim(W_1+W_2)=4
Uma base para W_1+W_2 é \{(-3,1,0,0),\,(0,0,1,2),\,(2,1,0,0),\,(2,0,1,0)\}.
A soma de W_1 e W_2 não é direta.

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