[08] Sejam
subespaços vetoriais de
. Determine a dimensão de
e uma base para esse subespaço vetorial. A soma de
e
é direta?
Passo 1
O enunciado define
Queremos
, uma base de
e verificar se a soma é direta. Vamos usar a fórmula de Grassmann
além de parametrizar cada subespaço.
Passo 2
Para
temos duas equações lineares independentes em
, logo
Parametrizando: de
vem
e de
vem
. Assim
ou seja uma base de
é
Passo 3
Para
há uma única equação, então
Escrevendo
,
,
livres e
, obtemos
logo uma base de
é
Passo 4
Para
juntamos as três equações:
O posto desse sistema é 3, logo
Passo 5
Aplicando Grassmann:
Como o espaço ambiente é
, concluímos que
.
Passo 6
Para formar uma base de
podemos tomar dois vetores de
e dois de
que sejam linearmente independentes. Por exemplo,
são quatro vetores independentes que geram todo
.
Passo 7
A soma é direta se e somente se
. Como
, a soma não é direta.
Resposta
Uma base para
A soma de