Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
(e) V=\{B \in M(n, n, \mathbb{K}) \mid B é uma matriz triangular inferior \}\,)

Passo 1

O enunciado define
V=\{B\in M(n,n;\mathbb K)\mid B\text{ é triangular inferior}\}é
ou seja, em cada linha i só as entradas com coluna j\le i podem ser não nulas. Como M(n,n;\mathbb K) tem dimensão n^2, V é um subespaço cujo grau de liberdade é o número de pares (i,j) com 1\le j\le i\le n. Vamos usar essa ideia para encontrar uma base e a dimensão.

Passo 2

Um elemento genérico de V é
B=(b_{ij}),\quad b_{ij}=0\quad\text{sempre que }i<j.
Logo os únicos coeficientes livres são aqueles com índice (i,j) satisfazendo 1\le j\le i\le n; cada escolha desses b_{ij} determina uma matriz triangular inferior.

Passo 3

Definimos, para cada par (i,j)\) com \(1\le j\le i\le n\), a matriz \[(E_{ij})_{kl}=\begin{cases} 1,&(k,l)=(i,j),\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}
Cada E_{ij}\] está em \(V, e qualquer matriz triangular inferior B pode ser escrita unicamente como combinação linear
B=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}b_{ij}\,E_{ij}.

Passo 4

O conjunto
\{\,E_{ij}\mid 1\le j\le i\le n\}
é linearmente independente (cada matriz tem suporte em uma única posição) e gera todo V. Portanto, é uma base de V. O número de vetores dessa base é
\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2},
que é exatamente a dimensão de V.

Resposta

Uma base de V é
\{E_{ij}\mid 1\le j\le i\le n\},
e
\dim(V)=\frac{n(n+1)}{2}.

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