Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
(e)
é uma matriz triangular inferior
(e)
Passo 1
O enunciado define
ou seja, em cada linha
só as entradas com coluna
podem ser não nulas. Como
tem dimensão
,
é um subespaço cujo grau de liberdade é o número de pares
com
. Vamos usar essa ideia para encontrar uma base e a dimensão.
Passo 2
Um elemento genérico de
é
Logo os únicos coeficientes livres são aqueles com índice
satisfazendo
; cada escolha desses
determina uma matriz triangular inferior.
Passo 3
Definimos, para cada par
Cada
, e qualquer matriz triangular inferior
pode ser escrita unicamente como combinação linear
Passo 4
O conjunto
é linearmente independente (cada matriz tem suporte em uma única posição) e gera todo
. Portanto, é uma base de
. O número de vetores dessa base é
que é exatamente a dimensão de
.
Resposta
Uma base de
é
e