Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
(h) V=\{B \in M(n, n, \mathbb{K}) \mid B é uma matriz antisimétrica \}\,)

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial
V = \{B \in M(n,n,\mathbb K)\mid B^T = -B\},
ou seja, o espaço de matrizes antissimétricas (ou seja, B_{ji} = -B_{ij} para todo par (i,j)). Vamos encontrar uma base explícita e, a partir dela, a dimensão de V.

Passo 2

Primeiro, note que para toda matriz antissimétrica B vale
B_{ii} = -B_{ii}\quad\Longrightarrow\quad 2B_{ii}=0\quad\Longrightarrow\quad B_{ii}=0.
Isso mostra que todas as entradas da diagonal principal são zero. Para i<j, a entrada B_{ij} é livre (pode ser qualquer elemento de \mathbb K) e determina B_{ji}=-B_{ij}. Logo, só precisamos escolher valores para cada par (i,j) com i<j. Há exatamente
\#\{(i,j):1\le i<j\le n\} = \frac{n(n-1)}{2}
pares distintos, ou seja, \frac{n(n-1)}{2} graus de liberdade.

Passo 3

Para construir a base, para cada 1\le i<j\le n definimos a matriz
A^{(i,j)} = E^{(i,j)} - E^{(j,i)},
onde E^{(p,q)} é a matriz que tem 1 na posição (p,q) e zero em todas as outras. Observamos que:
  1. A^{(i,j)} é antissimétrica, pois \bigl(A^{(i,j)}\bigr)^T = E^{(j,i)} - E^{(i,j)} = -A^{(i,j)}.
  2. As matrizes A^{(i,j)} são linearmente independentes, pois cada uma tem um par de entradas não nulas exclusivo.
  3. Qualquer matriz antissimétrica B pode ser escrita como combinação linear
B = \sum_{1\le i<j\le n} B_{ij}\,A^{(i,j)},
pois nessa soma o coeficiente de A^{(i,j)} recupera exatamente B_{ij} na entrada (i,j) e -B_{ij} na (j,i).

Passo 4

Concluímos que
\mathcal B = \{\,A^{(i,j)} : 1\le i<j\le n\}
é uma base de V. Como há \frac{n(n-1)}{2} pares (i,j) com i<j, a dimensão de V é
\dim V = \frac{n(n-1)}{2}.

Resposta

Uma base de V é
\{\,E^{(i,j)} - E^{(j,i)} : 1\le i<j\le n\}
e
\dim V = \frac{n(n-1)}{2}.

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