Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
(h)
é uma matriz antisimétrica
(h)
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
ou seja, o espaço de matrizes antissimétricas (ou seja,
para todo par
). Vamos encontrar uma base explícita e, a partir dela, a dimensão de
.
Passo 2
Primeiro, note que para toda matriz antissimétrica
vale
Isso mostra que todas as entradas da diagonal principal são zero. Para
, a entrada
é livre (pode ser qualquer elemento de
) e determina
. Logo, só precisamos escolher valores para cada par
com
. Há exatamente
pares distintos, ou seja,
graus de liberdade.
Passo 3
Para construir a base, para cada
definimos a matriz
onde
é a matriz que tem 1 na posição
e zero em todas as outras. Observamos que:
-
é antissimétrica, pois . - As matrizes
são linearmente independentes, pois cada uma tem um par de entradas não nulas exclusivo. - Qualquer matriz antissimétrica
pode ser escrita como combinação linear
pois nessa soma o coeficiente de
recupera exatamente
na entrada
e
na
.
Passo 4
Concluímos que
é uma base de
. Como há
pares
com
, a dimensão de
é
Resposta
Uma base de
é
e