08 - Um torneio de truco terá alunos de 3 clubes de uma cidade. Um dos clubes levará 120 participantes; outro, 180 ; e outro, 252 participantes. Os competidores serão divididos em grupos, de modo que cada grupo tenha representantes dos três clubes, e o número de participantes de cada clube seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o maior número de grupos que podem ser formados é
a) 12
b) 23
c) 46
d) 69

Passo 1

O enunciado dá os números de participantes de três clubes: 120, 180 e 252. Pede-se formar grupos tais que:
  • cada grupo tenha representantes dos três clubes;
  • o número de participantes de cada clube seja o mesmo em cada grupo;
  • formar o maior número possível de grupos.
Ou seja: listar as informações dadas e o que se pede.
  • Dados: 120, 180 e 252 participantes.
  • Pergunta: qual é o maior número possível de grupos que podem ser formados obedecendo às condições acima?

Passo 2

Tradução matemática da condição “mesmo número de participantes de cada clube em cada grupo”.
Sejam G o número de grupos formados. Então, em cada clube o número de participantes por grupo deve ser um número inteiro, isto é:
\frac{120}{G}\in\mathbb{Z},\qquad \frac{180}{G}\in\mathbb{Z},\qquad \frac{252}{G}\in\mathbb{Z}.
Além disso, cada grupo deve ter representantes dos três clubes, logo \frac{120}{G}\ge1, \frac{180}{G}\ge1, \frac{252}{G}\ge1.
Do primeiro conjunto de condições decorre que G deve ser um divisor comum de 120, 180 e 252. Como queremos o maior número possível de grupos, buscamos o maior divisor comum dessas três quantidades — isto é, o máximo divisor comum (MDC).

Passo 3

Breve explicação do conceito usado: máximo divisor comum (MDC).
O MDC de três números é o maior inteiro positivo que divide todos os três. Uma forma prática de obter o MDC é usar o algoritmo de Euclides passo a passo: calcular o MDC de dois números e depois o MDC desse resultado com o terceiro número. Esse procedimento funciona porque \gcd(a,b,c)=\gcd(\gcd(a,b),c).

Passo 4

Aplicar o algoritmo de Euclides para obter o MDC.
Primeiro calculemos \gcd(120,180).
180 = 120\cdot 1 + 60,
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\gcd(120,180)=\gcd(120,60).
Como
120 = 60\cdot 2 + 0,
temos \gcd(120,60)=60. Portanto
\gcd(120,180)=60.

Passo 5

Agora calculemos \gcd(60,252) para obter o MDC dos três números:
252 = 60\cdot 4 + 12,
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\gcd(60,252)=\gcd(60,12).
E
60 = 12\cdot 5 + 0,
portanto \gcd(60,12)=12. Assim o maior divisor comum de 120, 180 e 252 é 12.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: como \gcd(120,180,252)=12, pode-se formar 12 grupos. Verificando os participantes por grupo:
\frac{120}{12}=10,\qquad \frac{180}{12}=15,\qquad \frac{252}{12}=21,
ou seja, em cada um dos 12 grupos haverá 10 participantes do primeiro clube, 15 do segundo e 21 do terceiro — todos inteiros e positivos, e iguais de grupo para grupo. Isso confirma que 12 é o maior número de grupos possível.

Resposta

(a) 12

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