08 - Um torneio de truco terá alunos de 3 clubes de uma cidade. Um dos clubes levará 120 participantes; outro, 180 ; e outro, 252 participantes. Os competidores serão divididos em grupos, de modo que cada grupo tenha representantes dos três clubes, e o número de participantes de cada clube seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o maior número de grupos que podem ser formados é
a) 12
b) 23
c) 46
d) 69
a) 12
b) 23
c) 46
d) 69
Passo 1
O enunciado dá os números de participantes de três clubes:
,
e
. Pede-se formar grupos tais que:
- cada grupo tenha representantes dos três clubes;
- o número de participantes de cada clube seja o mesmo em cada grupo;
- formar o maior número possível de grupos.
Ou seja: listar as informações dadas e o que se pede.
- Dados:
, e participantes. - Pergunta: qual é o maior número possível de grupos que podem ser formados obedecendo às condições acima?
Passo 2
Tradução matemática da condição “mesmo número de participantes de cada clube em cada grupo”.
Sejam o número de grupos formados. Então, em cada clube o número de participantes por grupo deve ser um número inteiro, isto é:
Sejam
Além disso, cada grupo deve ter representantes dos três clubes, logo
,
,
.
Do primeiro conjunto de condições decorre que deve ser um divisor comum de
,
e
. Como queremos o maior número possível de grupos, buscamos o maior divisor comum dessas três quantidades — isto é, o máximo divisor comum (MDC).
Do primeiro conjunto de condições decorre que
Passo 3
Breve explicação do conceito usado: máximo divisor comum (MDC).
O MDC de três números é o maior inteiro positivo que divide todos os três. Uma forma prática de obter o MDC é usar o algoritmo de Euclides passo a passo: calcular o MDC de dois números e depois o MDC desse resultado com o terceiro número. Esse procedimento funciona porque .
O MDC de três números é o maior inteiro positivo que divide todos os três. Uma forma prática de obter o MDC é usar o algoritmo de Euclides passo a passo: calcular o MDC de dois números e depois o MDC desse resultado com o terceiro número. Esse procedimento funciona porque
Passo 4
Aplicar o algoritmo de Euclides para obter o MDC.
Primeiro calculemos .
Primeiro calculemos
logo
Como
temos
. Portanto
Passo 5
Agora calculemos
para obter o MDC dos três números:
logo
E
portanto
. Assim o maior divisor comum de
,
e
é
.
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: como
, pode-se formar
grupos. Verificando os participantes por grupo:
ou seja, em cada um dos
grupos haverá
participantes do primeiro clube,
do segundo e
do terceiro — todos inteiros e positivos, e iguais de grupo para grupo. Isso confirma que
é o maior número de grupos possível.
Resposta
(a) 12