09 - O dono de uma loja de bijuterias comprou uma grande quantidade de pulseiras de dois tipos, A e B, ao preço de R$20,00 e R$15,00 a dúzia, respectivamente, tendo pago na compra o valor de \mathrm{R} \ 1.020,00$. No total, ele saiu da loja com 777 pulseiras, mas sabe-se que, para cada três dúzias de um mesmo tipo de pulseira que comprou, ele ganhou uma pulseira extra, do mesmo tipo, de brinde. Nas condições descritas, o total de dúzias de pulseiras do tipo B que ele comprou foi igual a
a) 52
b) 48
c) 45
d) 41
e) 37

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • O preço da dúzia do tipo A é R\$20{,}00.
    • O preço da dúzia do tipo B é R\$15{,}00.
    • O valor total pago na compra foi R\$1.020{,}00.
    • Ele saiu da loja com um total de 777 pulseiras.
    • Regra de brinde: para cada 3 dúzias de um mesmo tipo que comprou, ele ganhou 1 pulseira extra desse mesmo tipo (ou seja, para cada 3 dúzias compradas de um tipo, recebe-se 1 unidade extra).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o total de dúzias do tipo B que ele comprou (uma única resposta dentre as alternativas).

Passo 2

Definir variáveis e escrever as equações que traduzem o problema.
  • Seja x o número de dúzias do tipo A que ele comprou (dúzias pagas).
  • Seja y o número de dúzias do tipo B que ele comprou (dúzias pagas).
A partir dos preços e do total pago, a equação do custo é
20x + 15y = 1020.
Essa é uma equação linear inteira em x e y.
Agora vamos modelar o total de pulseiras recebidas. Sem os brindes, ele teria 12x pulseiras do tipo A e 12y do tipo B. Além disso, pelos brindes: para cada 3 dúzias do tipo A ele recebeu 1 pulseira extra, ou seja \left\lfloor \dfrac{x}{3} \right\rfloor brindes de A; analogamente \left\lfloor \dfrac{y}{3} \right\rfloor brindes de B. Assim o total de pulseiras é
12x + 12y + \left\lfloor \dfrac{x}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{y}{3} \right\rfloor = 777.

Passo 3

Simplificar a equação do custo e preparar a contagem dos brindes de forma mais manejável.
A equação do custo pode ser simplificada dividindo ambos os lados por 5:
4x + 3y = 204.
Para tratar os pisos \left\lfloor \dfrac{x}{3} \right\rfloor e \left\lfloor \dfrac{y}{3} \right\rfloor, escrevemos x e y em função de quociente e resto na divisão por 3. Ou seja, existiriam inteiros a,b e restos r,s com r,s\in\{0,1,2\} tais que
x = 3a + r,\qquad y = 3b + s.
Então
\left\lfloor \dfrac{x}{3} \right\rfloor = a,\qquad \left\lfloor \dfrac{y}{3} \right\rfloor = b.
Substituindo na equação do total de pulseiras:
12(3a+r) + 12(3b+s) + a + b = 777.
Calculemos isso passo a passo:
36a + 12r + 36b + 12s + a + b = 777,
37a + 37b + 12(r+s) = 777.
Factorizando,
37(a+b) + 12(r+s) = 777.

Passo 4

Explorar a congruência/divisibilidade para descobrir r e s.
Da equação
37(a+b) + 12(r+s) = 777
podemos observar que 37(a+b) é múltiplo de 37. Portanto 777 - 12(r+s) deve ser múltiplo de 37. Note que
777 = 37 \cdot 21,
logo
37(a+b) = 37\cdot 21 - 12(r+s).
Dividindo por 37,
a+b = 21 - \dfrac{12}{37}(r+s).
Como a+b é inteiro, \dfrac{12}{37}(r+s) deve ser inteiro. Mas r+s é um inteiro entre 0 e 4 (porque r,s\in\{0,1,2\}), então \dfrac{12}{37}(r+s) só pode ser inteiro se r+s=0 (já que 37 é primo com 12 e r+s<37). Logo
r+s = 0.
Isso implica r=0 e s=0; portanto x e y são múltiplos de 3. Além disso,
a+b = 21.

Passo 5

Voltar à equação do custo usando que x=3a e y=3b.
Substituindo x=3a e y=3b na equação de custo 20x+15y=1020:
20(3a) + 15(3b) = 1020,
60a + 45b = 1020.
Dividindo ambos os lados por 15:
4a + 3b = 68.
Lembrando também que a+b=21. Temos, portanto, o sistema linear em inteiros
\begin{cases} 4a + 3b = 68,\\[4pt] a + b = 21. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para a e b.
Da segunda equação b = 21 - a. Substituindo na primeira:
4a + 3(21 - a) = 68.
Calcule:
4a + 63 - 3a = 68,
a + 63 = 68,
a = 5.
Então
b = 21 - a = 21 - 5 = 16.

Passo 7

Encontrar x e y (número de dúzias compradas de A e B) e interpretar o resultado.
Lembrando que x = 3a e y = 3b, obtemos
x = 3\cdot 5 = 15 \quad\text{(dúzias do tipo \(A\) compradas)},ú
y = 3\cdot 16 = 48 \quad\text{(dúzias do tipo \(B\) compradas)}.ú
Verificação rápida (coisa que vale fazer na prova): custo
20\cdot 15 + 15\cdot 48 = 300 + 720 = 1020,
total de pulseiras recebidas
12\cdot 15 + 12\cdot 48 + \left\lfloor \dfrac{15}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{48}{3} \right\rfloor = 180 + 576 + 5 + 16 = 777,
tudo confere.

Resposta

48

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