09 - O dono de uma loja de bijuterias comprou uma grande quantidade de pulseiras de dois tipos, A e B, ao preço de R$20,00 e R$15,00 a dúzia, respectivamente, tendo pago na compra o valor de
1.020,00$. No total, ele saiu da loja com 777 pulseiras, mas sabe-se que, para cada três dúzias de um mesmo tipo de pulseira que comprou, ele ganhou uma pulseira extra, do mesmo tipo, de brinde. Nas condições descritas, o total de dúzias de pulseiras do tipo B que ele comprou foi igual a
a) 52
b) 48
c) 45
d) 41
e) 37
a) 52
b) 48
c) 45
d) 41
e) 37
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- O preço da dúzia do tipo A é
. - O preço da dúzia do tipo B é
. - O valor total pago na compra foi
. - Ele saiu da loja com um total de
pulseiras. - Regra de brinde: para cada
dúzias de um mesmo tipo que comprou, ele ganhou pulseira extra desse mesmo tipo (ou seja, para cada dúzias compradas de um tipo, recebe-se unidade extra).
- O preço da dúzia do tipo A é
- O que o enunciado pede:
- Determinar o total de dúzias do tipo
que ele comprou (uma única resposta dentre as alternativas).
- Determinar o total de dúzias do tipo
Passo 2
Definir variáveis e escrever as equações que traduzem o problema.
- Seja
o número de dúzias do tipo que ele comprou (dúzias pagas). - Seja
o número de dúzias do tipo que ele comprou (dúzias pagas).
A partir dos preços e do total pago, a equação do custo é
Essa é uma equação linear inteira em
e
.
Agora vamos modelar o total de pulseiras recebidas. Sem os brindes, ele teria
pulseiras do tipo
e
do tipo
. Além disso, pelos brindes: para cada
dúzias do tipo
ele recebeu
pulseira extra, ou seja
brindes de
; analogamente
brindes de
. Assim o total de pulseiras é
Passo 3
Simplificar a equação do custo e preparar a contagem dos brindes de forma mais manejável.
A equação do custo pode ser simplificada dividindo ambos os lados por
:
Para tratar os pisos
e
, escrevemos
e
em função de quociente e resto na divisão por
. Ou seja, existiriam inteiros
e restos
com
tais que
Então
Substituindo na equação do total de pulseiras:
Calculemos isso passo a passo:
Factorizando,
Passo 4
Explorar a congruência/divisibilidade para descobrir
e
.
Da equação
podemos observar que
é múltiplo de
. Portanto
deve ser múltiplo de
. Note que
logo
Dividindo por
,
Como
é inteiro,
deve ser inteiro. Mas
é um inteiro entre
e
(porque
), então
só pode ser inteiro se
(já que
é primo com
e
). Logo
Isso implica
e
; portanto
e
são múltiplos de
. Além disso,
Passo 5
Voltar à equação do custo usando que
e
.
Substituindo
e
na equação de custo
:
Dividindo ambos os lados por
:
Lembrando também que
. Temos, portanto, o sistema linear em inteiros
Passo 6
Resolver o sistema para
e
.
Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
Calcule:
Então
Passo 7
Encontrar
e
(número de dúzias compradas de
e
) e interpretar o resultado.
Lembrando que
e
, obtemos
Verificação rápida (coisa que vale fazer na prova): custo
total de pulseiras recebidas
tudo confere.
Resposta
48