09 - Admita que a menor e a maior freqüência da luz visível sejam 4,00 \cdot 10^{14} \mathrm{~Hz} e 8,00 \cdot 10^{14} \mathrm{~Hz}, respectivamente. Calcule o intervalo de variação de comprimento de onda da luz visível, no vácuo.
Dado: módulo da velocidade da luz no vácuo: 3,00 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá as duas frequências extremas da luz visível e pede o intervalo de comprimento de onda correspondente, no vácuo. Informações fornecidas:
  • Menor frequência: f_{\min} = 4,00\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
  • Maior frequência: f_{\max} = 8,00\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade da luz no vácuo: c = 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Pergunta a responder: qual é o intervalo de variação do comprimento de onda \lambda da luz visível no vácuo, isto é, os valores mínimo e máximo de \lambda correspondentes a essas frequências.

Passo 2

Conceito fundamental que vamos usar (a famosa relação onda-velocidade):
c = \lambda f
Aqui:
  • c é a velocidade da onda (no caso, a velocidade da luz no vácuo), em \mathrm{m/s}.
  • \lambda é o comprimento de onda, em metros ( \mathrm{m}).
  • f é a frequência, em hertz ( \mathrm{Hz}, que equivale a \mathrm{s^{-1}}).
Explicação curta: essa fórmula diz que a velocidade é o produto do comprimento de onda pelo número de oscilações por segundo. Para luz no vácuo c é constante, então frequência e comprimento de onda variam inversamente.

Passo 3

Isolando \lambda na fórmula:
\lambda = \frac{c}{f}
Observação importante sobre máximos e mínimos: como \lambda é proporcional a 1/f, a menor frequência produz o maior comprimento de onda e a maior frequência produz o menor comprimento de onda. Assim:
  • \lambda_{\max} = \dfrac{c}{f_{\min}}.
  • \lambda_{\min} = \dfrac{c}{f_{\max}}.

Passo 4

Cálculo de \lambda_{\max} usando os valores dados. Substituindo:
\lambda_{\max} = \frac{3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}{4,00\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}}.
Agora simplificar potências de dez e coeficientes:
\lambda_{\max} = \frac{3,00}{4,00}\times10^{8-14}\\ \mathrm{m} = 0,75\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Reescrevendo em notação mais usual:
\lambda_{\max} = 7,50\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo de \lambda_{\min} com a maior frequência:
\lambda_{\min} = \frac{3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}{8,00\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}}.
Simplificando:
\lambda_{\min} = \frac{3,00}{8,00}\times10^{8-14}\\ \mathrm{m} = 0,375\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Reescrevendo:
\lambda_{\min} = 3,75\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Conversão para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm} = 10^{-9}\\ \mathrm{m}) para ficar em unidades comuns de luz visível:
\lambda_{\max} = 7,50\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 750\\ \mathrm{nm},
\lambda_{\min} = 3,75\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 375\\ \mathrm{nm}.

Resposta

\lambda_{\min} = 3,75\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 375\\ \mathrm{nm}
\lambda_{\max} = 7,50\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 750\\ \mathrm{nm}

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