09)Em certa região do espaço, o potencial elétrico é V=5 x-3 x^2+2 yz^2. Determine as expressões para as componentes x, y e z do campo elétrico nessa região. b) Qual é o módulo do campo elétrico em um ponto qualquer P , que tem as coordenadas ( 1,0,-2 ) (em metros)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem um potencial elétrico dado por V = 5x - 3x^2 + 2yz^2 e precisa encontrar as componentes Ex , Ey e Ez do campo elétrico nessa região. Além disso, queremos saber qual é o módulo do campo elétrico no ponto P(1,0,-2) . Para isso, vamos usar o conceito de que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico, ou seja, E = -nabla V . Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa E = -nabla V . O gradiente nabla V é um vetor que aponta na direção de maior aumento do potencial e suas componentes são as derivadas parciais de V em relação a x , y e z . Portanto, para encontrar as componentes do campo elétrico, vamos calcular essas derivadas parciais e então multiplicar por -1.

Passo 3

Vamos calcular Ex , a componente do campo elétrico na direção x . Isso é igual a menos a derivada parcial de V em relação a x :
Ex = -partial Vpartial x
Derivando V = 5x - 3x^2 + 2yz^2 em relação a x :
partial Vpartial x = 5 - 6x
Então,
Ex = -(5 - 6x) = -5 + 6x

Passo 4

Agora, vamos encontrar Ey , a componente do campo elétrico na direção y :
Ey = -partial Vpartial y
Derivando V = 5x - 3x^2 + 2yz^2 em relação a y :
partial Vpartial y = 2z^2
Assim,
Ey = -2z^2

Passo 5

Por fim, vamos determinar Ez , a componente na direção z :
Ez = -partial Vpartial z
Derivando V = 5x - 3x^2 + 2yz^2 em relação a z :
partial Vpartial z = 4yz
Portanto,
Ez = -4yz

Passo 6

Agora que temos as expressões para as componentes do campo elétrico, vamos calcular o módulo do campo no ponto P(1,0,-2) . Primeiro, substituímos x = 1 , y = 0 e z = -2 nas expressões que encontramos:
Ex = -5 + 6(1) = -5 + 6 = 1
Ey = -2(-2)^2 = -2(4) = -8
Ez = -4(0)(-2) = 0
Agora, para achar o módulo do campo elétrico |E| , usamos a fórmula:
|E| = raizEx^2 + Ey^2 + Ez^2
Substituindo os valores:
|E| = raiz1^2 + (-8)^2 + 0^2 = raiz1 + 64 + 0 = raiz65

Resposta

As componentes do campo elétrico são:
Ex = -5 + 6x
Ey = -2z^2
Ez = -4yz
No ponto P(1,0,-2) , o módulo do campo elétrico é raiz65 N/C.

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