09)Em certa região do espaço, o potencial elétrico é
. Determine as expressões para as componentes
e
do campo elétrico nessa região. b) Qual é o módulo do campo elétrico em um ponto qualquer P , que tem as coordenadas (
) (em metros)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem um potencial elétrico dado por
e precisa encontrar as componentes
,
e
do campo elétrico nessa região. Além disso, queremos saber qual é o módulo do campo elétrico no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico, ou seja,
. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O gradiente
é um vetor que aponta na direção de maior aumento do potencial e suas componentes são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Portanto, para encontrar as componentes do campo elétrico, vamos calcular essas derivadas parciais e então multiplicar por -1.
Passo 3
Vamos calcular
, a componente do campo elétrico na direção
. Isso é igual a menos a derivada parcial de
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar
, a componente do campo elétrico na direção
:
Derivando
em relação a
:
Assim,
Passo 5
Por fim, vamos determinar
, a componente na direção
:
Derivando
em relação a
:
Portanto,
Passo 6
Agora que temos as expressões para as componentes do campo elétrico, vamos calcular o módulo do campo no ponto
. Primeiro, substituímos
,
e
nas expressões que encontramos:
Agora, para achar o módulo do campo elétrico
, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
As componentes do campo elétrico são:
No ponto
, o módulo do campo elétrico é
N/C.