[09] Determinar todas as possíveis funções f que satisfazem a seguinte propriedade:
(x-1)[f(x)]^2+2 x[f(x)]=-1-x
Determine também a paridade dessas funções.

Passo 1

A questão pede todas as funções reais f que satisfazem para todo x a equação (x−1)[f(x)]² + 2x f(x) = −1 − x, e em seguida determinar se essas funções são pares, ímpares ou nenhuma das opções. Vamos tratar isso como uma equação quadrática em f(x).

Passo 2

Escrevendo a equação no formato padrão em f(x):
(x-1)[f(x)]^2 + 2x f(x) + (x+1) = 0
Aqui o coeficiente de [f(x)]² é a = x-1, o de f(x) é b = 2x e o termo independente é c = x+1.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver a quadrática em f(x). Primeiro, o discriminante:
De
Logo raizDe.

Passo 4

As raízes são
f(x) = -b pm raizDe
Isso nos dá duas possíveis expressões para f(x).

Passo 5

Primeira opção:
f1(x) = -x + 1x-1
Observe que -x+1)=-(x-1), então
f1(x) = -1,
isto é, f₁ é a função constante −1 para todo x (inclusive em x=1, já que plugando x=1 na equação original dá 2f(1)=−2 ⇒ f(1)=−1).

Passo 6

Segunda opção:
f2(x) = -x -1x-1 = -x+1x-1, xneq1
Para garantir que f₂(1) satisfaça a equação, julgamos f₂(1)=−1 de modo a preencher o ponto x=1.

Passo 7

Agora vamos testar a paridade. Para f₁(x)=−1 temos
f1(-x) = -1 = f1(x),
logo f₁ é uma função par.

Passo 8

Para f₂(x)=−(x+1)/(x−1), calculemos f₂(−x):
f2(-x) = --x+1-x-1 = -x-1x+1
Isso não coincide com f₂(x) nem com −f₂(x) de forma geral, portanto f₂ não é nem par nem ímpar.

Resposta

As soluções são f₁(x)=−1 (que é uma função par) e f₂(x)=−(x+1)/(x−1) (definida em x≠1 e estendida por f₂(1)=−1), e essa segunda não é nem par nem ímpar.

Exercícios relacionados