[09] Determinar todas as possíveis funções
que satisfazem a seguinte propriedade:
Determine também a paridade dessas funções.
Passo 1
A questão pede todas as funções reais f que satisfazem para todo x a equação (x−1)[f(x)]² + 2x f(x) = −1 − x, e em seguida determinar se essas funções são pares, ímpares ou nenhuma das opções. Vamos tratar isso como uma equação quadrática em f(x).
Passo 2
Escrevendo a equação no formato padrão em f(x):
Aqui o coeficiente de [f(x)]² é
, o de f(x) é
e o termo independente é
.
Passo 3
Aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver a quadrática em f(x). Primeiro, o discriminante:
Logo
.
Passo 4
As raízes são
Isso nos dá duas possíveis expressões para f(x).
Passo 5
Primeira opção:
Observe que
, então
isto é, f₁ é a função constante −1 para todo x (inclusive em x=1, já que plugando x=1 na equação original dá 2f(1)=−2 ⇒ f(1)=−1).
Passo 6
Segunda opção:
Para garantir que f₂(1) satisfaça a equação, julgamos f₂(1)=−1 de modo a preencher o ponto x=1.
Passo 7
Agora vamos testar a paridade. Para f₁(x)=−1 temos
logo f₁ é uma função par.
Passo 8
Para f₂(x)=−(x+1)/(x−1), calculemos f₂(−x):
Isso não coincide com f₂(x) nem com −f₂(x) de forma geral, portanto f₂ não é nem par nem ímpar.
Resposta
As soluções são f₁(x)=−1 (que é uma função par) e f₂(x)=−(x+1)/(x−1) (definida em x≠1 e estendida por f₂(1)=−1), e essa segunda não é nem par nem ímpar.