Discuta a continuidade de f(x) no ponto p indicado.
Determine se a função dada é contínua no ponto p indicado:
f(x)=x^2+3 x+6x^2-1 em p=1

Passo 1

O enunciado pede para discutir a continuidade de f(x)=x^2+3x+6x^2-1 no ponto p=1. O conteúdo envolvido é continuidade de funções racionais, para o qual precisamos determinar o domínio de f, o valor de f(1) e o limite de f(x) quando xto1.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o domínio de f. Como f(x) é uma fração, é necessário que o denominador não seja zero:
x^2-1neq0\nIsso implica xneqpm1. Logo, 1 não pertence ao domínio de f.

Passo 3

Para f ser contínua em x=1 seria preciso que f(1) existisse e que
limxto1f(x)=f(1)
Mas já vimos que f(1) não existe, pois o denominador zera em x=1.

Passo 4

Mesmo sem valor definido em x=1, vamos analisar o comportamento do limite lateral. Note que
x^2-1=(x-1)(x+1)
e, quando xto1, o numerador tende a 1^2+3cdot1+6=10 e x+1to2. Assim
f(x)=x^2+3x+6(x-1)(x+1)approx102(x-1)=5x-1
Portanto
limxto1^+f(x)=+inftyelimxto1^-f(x)=-infty,
ou seja, não há limite finito em x=1 e ocorre descontinuidade infinita (polo).

Passo 5

Concluímos que f não é contínua em p=1 pois o valor f(1) não existe e o limite em xto1 diverge para pminfty, caracterizando uma descontinuidade infinita.

Resposta

A função não é contínua em p=1, apresentando descontinuidade infinita (polo) nesse ponto e sem valor definido para f(1).

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