Determine quais das seguintes integrais são divergentes:
Escolha uma ou mais:
Escolha uma ou mais:
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício juntos! A questão pede para determinar se a integral abaixo é divergente ou não:
Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias, já que temos pontos problemáticos nos limites de integração. Para resolver isso, precisamos investigar o comportamento da função dentro da integral, especialmente perto de onde ela pode não estar bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função que está sendo integrada:
Note que a função envolve o logaritmo natural de |x| elevado ao cubo, dividido por x. O ponto que nos chama atenção é x = 0, pois o logaritmo de zero não está definido e o denominador também tende a zero. Portanto, precisamos analisar o comportamento da função perto de x = 0 para verificar se a integral converge ou diverge.
Passo 3
Como estamos integrando de -1 a 1, e a função apresenta um comportamento problemático em x = 0, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a análise:
Vamos focar na segunda integral, de 0 a 1, já que a análise será similar para a primeira parte devido à simetria da função.
Passo 4
Para estudar o comportamento da integral próxima a x = 0, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos usar $ t = \ln x $, o que implica que $ x = e^{t} $ e $ dx = e^{t} dt $. Assim, a integral se transforma em:
Aqui, vemos que a integral de $ t^{3} $ de menos infinito a 0 não converge, pois $ t^{3} $ tende a menos infinito quando t tende a menos infinito.
Passo 5
Como a integral de $ t^{3} $ diverge, isso significa que a integral original também diverge. Portanto, a integral dada não possui um valor finito e é considerada divergente.
Resposta
A integral é divergente.