Determine quais das seguintes integrais são divergentes:
Escolha uma ou mais:
integral-1^1 (ln |x|)^3x d x

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício juntos! A questão pede para determinar se a integral abaixo é divergente ou não:
integral-1^1 (ln |x|)^3x , dx
Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias, já que temos pontos problemáticos nos limites de integração. Para resolver isso, precisamos investigar o comportamento da função dentro da integral, especialmente perto de onde ela pode não estar bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que está sendo integrada:
f(x) = (ln |x|)^3x
Note que a função envolve o logaritmo natural de |x| elevado ao cubo, dividido por x. O ponto que nos chama atenção é x = 0, pois o logaritmo de zero não está definido e o denominador também tende a zero. Portanto, precisamos analisar o comportamento da função perto de x = 0 para verificar se a integral converge ou diverge.

Passo 3

Como estamos integrando de -1 a 1, e a função apresenta um comportamento problemático em x = 0, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a análise:
integral-1^1 (ln |x|)^3x , dx = integral-1^0 (ln |x|)^3x , dx + integral0^1 (ln |x|)^3x , dx
Vamos focar na segunda integral, de 0 a 1, já que a análise será similar para a primeira parte devido à simetria da função.

Passo 4

Para estudar o comportamento da integral próxima a x = 0, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos usar $ t = \ln x $, o que implica que $ x = e^{t} $ e $ dx = e^{t} dt $. Assim, a integral se transforma em:
t = ln x
Aqui, vemos que a integral de $ t^{3} $ de menos infinito a 0 não converge, pois $ t^{3} $ tende a menos infinito quando t tende a menos infinito.

Passo 5

Como a integral de $ t^{3} $ diverge, isso significa que a integral original também diverge. Portanto, a integral dada não possui um valor finito e é considerada divergente.

Resposta

A integral é divergente.

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