Partículas muito pequenas, movendo-se lentamente em fluidos, são conhecidas por sofrerem uma força de arrasto proporcional a sua velocidade \left(v_{p}\right). Considere uma partícula esférica de raio ( R_{p} ) igual a 4,1 \mathrm{~mm} e massa específica \left(\rho_{p}\right) igual a 2700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, abandonada em um fluido de massa específica conhecida \left(\rho_{F}\right). A partícula sofre uma força de arrasto quando imersa em fluidos estagnados igual a F_{D}=6 \pi \mu R_{p} v_{p}, em que \mu é a viscosidade do fluido estagnado. Determine tempo necessário para a partícula acelerar do repouso até 95 \% de sua velocidade terminal, v_{t}, em função de \rho_{p}, \mu e R_{p}. Considere \mu=0,891 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} / \mathrm{s}.
◯ a. 37,30 \mathrm{~s}
◯ b. 50,87 \mathrm{~s}
◯ c. 67,82 \mathrm{~s}
◯ d. 33,91 \mathrm{~s}
◯ e. 101,73 \mathrm{~s}
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (anotei todos os dados importantes):
Raio da partícula: R_{p}=4{,}1\\ \mathrm{mm}=4{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Massa específica da partícula: \rho_{p}=2700\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Massa específica do fluido: \rho_{F} (foi dito que é conhecida, mas nenhum valor numérico foi fornecido).
Força de arrasto (Stokes, para partículas pequenas e movimento lento): \,F_{D}=6\pi\mu R_{p} v_{p}\,, onde \mu é a viscosidade do fluido.
Viscosidade fornecida para cálculo numérico: \mu=0{,}891\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}/\mathrm{s}.
A partícula é abandonada do repouso (v(0)=0) em fluido estagnado; pede-se o tempo necessário para ela atingir 95\% da velocidade terminal v_{t}, primeiro em função de \rho_{p},\mu,R_{p} e depois usando o valor de \mu fornecido.
Observação importante que vem do enunciado: usar a força de arrasto linear (Stokes). Nenhuma outra informação (por exemplo g) foi omitida; usar g quando necessário (assumir g padrão se precisar para expressar v_t), porém o tempo para aproximar-se da velocidade terminal pode não depender de \rho_F — veremos isso.
Passo 2
Escrever a equação de movimento (Segunda Lei de Newton) para a partícula na direção vertical para cima positiva. As forças relevantes são: peso, empuxo (fluido deslocado) e arrasto. Então:
m\frac{dv}{dt}=m g - \rho_{F} V g - 6\pi\mu R_{p} v,
onde:
m é a massa da partícula;
V é o volume da esfera;
g é a aceleração da gravidade;
v(t) é a velocidade da partícula.
Escrevendo m=\rho_{p}V e isolando termos:
\rho_{p}V\frac{dv}{dt} = (\rho_{p}-\rho_{F})V g - 6\pi\mu R_{p} v.
Quando a partícula alcança velocidade terminal v_{t} tem-se \dfrac{dv}{dt}=0, portanto:
6\pi\mu R_{p} v_{t} = (\rho_{p}-\rho_{F})V g.
Essa é a expressão de v_{t} (ela envolve \rho_F), mas note que o termo que multiplica v na equação diferencial é 6\pi\mu R_{p} e a massa efetiva é \rho_{p}V: isso define a constante de tempo do sistema (ver passo seguinte).
Passo 3
Reescrever a equação diferencial na forma padrão de um problema linear de primeira ordem. Dividindo por \rho_{p}V:
A solução geral dessa equação (homogênea + particular) com condição inicial v(0)=0 é a forma exponencial conhecida:
v(t)=v_{t}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr),
onde v_{t} é a solução particular constante, i.e. a velocidade terminal já encontrada no passo anterior. Esta é uma solução padrão: parte homogênea decai como e^{-t/\tau} e a solução particular é v_t; a constante é ajustada pela condição inicial.
Interpretação física rápida: \tau é o tempo característico que determina a velocidade de ajuste da partícula à sua velocidade terminal — depois de um tempo \sim 3\tau a partícula já está bem próxima de v_t.
Passo 4
Determinar \tau explicitamente em termos de \rho_{p},\mu,R_{p}. O volume da esfera é
V=\frac{4}{3}\pi R_{p}^{3}.
Logo a massa m=\rho_{p}V=\rho_{p}\dfrac{4}{3}\pi R_{p}^{3}. Substituindo em \tau:
Repare que \tau não depende de \rho_{F}: o tempo característico para atingir v_t depende da razão massa/arrasto, e a densidade do fluido entra apenas na magnitude de v_t, não em \tau.
Passo 5
Agora pedir: tempo para atingir 95\% de v_t. Da solução
Substituir os valores numéricos para obter o tempo pedido (usar \rho_{p}=2700\\ \mathrm{kg/m^{3}}, R_{p}=4{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e \mu=0{,}891\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}).
Primeiro \dfrac{0{,}045387}{0{,}891\times10^{-3}}=\dfrac{0{,}045387}{0{,}000891}\approx11{,}322\\ \mathrm{s}.
Multiplicando por \dfrac{2}{9} (ou diretamente calculando conforme expressão já simplificada) obtém-se
\tau\approx11{,}322\\ \mathrm{s}.
(Nota: a forma direta já deu esse valor; se preferir calcular passo a passo: 0{,}045387/0{,}000891\approx50{,}997 e \dfrac{2}{9}\times50{,}997\approx11{,}322.)
Agora t_{95\%}=\tau\ln(20) e \ln(20)\approx2{,}995732. Logo