Partículas muito pequenas, movendo-se lentamente em fluidos, são conhecidas por sofrerem uma força de arrasto proporcional a sua velocidade \left(v_{p}\right). Considere uma partícula esférica de raio ( R_{p} ) igual a 4,1 \mathrm{~mm} e massa específica \left(\rho_{p}\right) igual a 2700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, abandonada em um fluido de massa específica conhecida \left(\rho_{F}\right). A partícula sofre uma força de arrasto quando imersa em fluidos estagnados igual a F_{D}=6 \pi \mu R_{p} v_{p}, em que \mu é a viscosidade do fluido estagnado. Determine tempo necessário para a partícula acelerar do repouso até 95 \% de sua velocidade terminal, v_{t}, em função de \rho_{p}, \mu e R_{p}. Considere \mu=0,891 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} / \mathrm{s}.
◯ a. 37,30 \mathrm{~s}
◯ b. 50,87 \mathrm{~s}
◯ c. 67,82 \mathrm{~s}
◯ d. 33,91 \mathrm{~s}
◯ e. 101,73 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (anotei todos os dados importantes):
  • Raio da partícula: R_{p}=4{,}1\\ \mathrm{mm}=4{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Massa específica da partícula: \rho_{p}=2700\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Massa específica do fluido: \rho_{F} (foi dito que é conhecida, mas nenhum valor numérico foi fornecido).
  • Força de arrasto (Stokes, para partículas pequenas e movimento lento): \,F_{D}=6\pi\mu R_{p} v_{p}\,, onde \mu é a viscosidade do fluido.
  • Viscosidade fornecida para cálculo numérico: \mu=0{,}891\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • A partícula é abandonada do repouso ( v(0)=0) em fluido estagnado; pede-se o tempo necessário para ela atingir 95\% da velocidade terminal v_{t}, primeiro em função de \rho_{p},\mu,R_{p} e depois usando o valor de \mu fornecido.
Observação importante que vem do enunciado: usar a força de arrasto linear (Stokes). Nenhuma outra informação (por exemplo g) foi omitida; usar g quando necessário (assumir g padrão se precisar para expressar v_t), porém o tempo para aproximar-se da velocidade terminal pode não depender de \rho_F — veremos isso.

Passo 2

Escrever a equação de movimento (Segunda Lei de Newton) para a partícula na direção vertical para cima positiva. As forças relevantes são: peso, empuxo (fluido deslocado) e arrasto. Então:
m\frac{dv}{dt}=m g - \rho_{F} V g - 6\pi\mu R_{p} v,
onde:
  • m é a massa da partícula;
  • V é o volume da esfera;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • v(t) é a velocidade da partícula.
Escrevendo m=\rho_{p}V e isolando termos:
\rho_{p}V\frac{dv}{dt} = (\rho_{p}-\rho_{F})V g - 6\pi\mu R_{p} v.
Quando a partícula alcança velocidade terminal v_{t} tem-se \dfrac{dv}{dt}=0, portanto:
6\pi\mu R_{p} v_{t} = (\rho_{p}-\rho_{F})V g.
Essa é a expressão de v_{t} (ela envolve \rho_F), mas note que o termo que multiplica v na equação diferencial é 6\pi\mu R_{p} e a massa efetiva é \rho_{p}V: isso define a constante de tempo do sistema (ver passo seguinte).

Passo 3

Reescrever a equação diferencial na forma padrão de um problema linear de primeira ordem. Dividindo por \rho_{p}V:
\frac{dv}{dt} + \underbrace{\frac{6\pi\mu R_{p}}{\rho_{p}V}}_{1/\tau}\,v = \underbrace{\frac{(\rho_{p}-\rho_{F})V g}{\rho_{p}V}}_{= \dfrac{\rho_{p}-\rho_{F}}{\rho_{p}}\,g}.
Definindo a constante de tempo
\tau=\frac{\rho_{p}V}{6\pi\mu R_{p}},
a equação fica
\frac{dv}{dt}+\frac{1}{\tau}v = \frac{\rho_{p}-\rho_{F}}{\rho_{p}}\,g.
A solução geral dessa equação (homogênea + particular) com condição inicial v(0)=0 é a forma exponencial conhecida:
v(t)=v_{t}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr),
onde v_{t} é a solução particular constante, i.e. a velocidade terminal já encontrada no passo anterior. Esta é uma solução padrão: parte homogênea decai como e^{-t/\tau} e a solução particular é v_t; a constante é ajustada pela condição inicial.
Interpretação física rápida: \tau é o tempo característico que determina a velocidade de ajuste da partícula à sua velocidade terminal — depois de um tempo \sim 3\tau a partícula já está bem próxima de v_t.

Passo 4

Determinar \tau explicitamente em termos de \rho_{p},\mu,R_{p}. O volume da esfera é
V=\frac{4}{3}\pi R_{p}^{3}.
Logo a massa m=\rho_{p}V=\rho_{p}\dfrac{4}{3}\pi R_{p}^{3}. Substituindo em \tau:
\tau=\frac{\rho_{p}\left(\dfrac{4}{3}\pi R_{p}^{3}\right)}{6\pi\mu R_{p}}.
Simplificando \pi e R_{p}:
\tau=\frac{\rho_{p}\dfrac{4}{3}R_{p}^{2}}{6\mu} =\rho_{p}R_{p}^{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{6\mu}.
Fazendo as contas de frações:
\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{4}{18}=\frac{2}{9},
portanto a forma final simples é
\boxed{\displaystyle \tau=\frac{2}{9}\,\frac{\rho_{p}R_{p}^{2}}{\mu}.}
Repare que \tau não depende de \rho_{F}: o tempo característico para atingir v_t depende da razão massa/arrasto, e a densidade do fluido entra apenas na magnitude de v_t, não em \tau.

Passo 5

Agora pedir: tempo para atingir 95\% de v_t. Da solução
v(t)=v_{t}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr),
coloca-se v(t)=0{,}95\,v_{t}, daí
0{,}95 = 1 - e^{-t/\tau}\quad\Rightarrow\quad e^{-t/\tau}=0{,}05.
Tomando logaritmo natural:
-\frac{t}{\tau}=\ln(0{,}05) \quad\Rightarrow\quad t = -\tau\ln(0{,}05) = \tau\ln(20).
Portanto em função de \rho_{p},\mu,R_{p}:
\boxed{\displaystyle t_{95\%}=\tau\ln(20)=\frac{2}{9}\,\frac{\rho_{p}R_{p}^{2}}{\mu}\,\ln(20).}

Passo 6

Substituir os valores numéricos para obter o tempo pedido (usar \rho_{p}=2700\\ \mathrm{kg/m^{3}}, R_{p}=4{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e \mu=0{,}891\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}).
Calcular R_{p}^{2}:
R_{p}^{2}=(4{,}1\times10^{-3})^{2}=1{,}681\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Calcular o numerador \rho_{p}R_{p}^{2}:
\rho_{p}R_{p}^{2}=2700\times1{,}681\times10^{-5}=0{,}045387\\ \mathrm{kg/m\cdot s^{0}}.
Calcular \tau=\dfrac{2}{9}\dfrac{\rho_{p}R_{p}^{2}}{\mu}:
\tau=\frac{2}{9}\cdot\frac{0{,}045387}{0{,}891\times10^{-3}}.
Primeiro \dfrac{0{,}045387}{0{,}891\times10^{-3}}=\dfrac{0{,}045387}{0{,}000891}\approx11{,}322\\ \mathrm{s}.
Multiplicando por \dfrac{2}{9} (ou diretamente calculando conforme expressão já simplificada) obtém-se
\tau\approx11{,}322\\ \mathrm{s}.
(Nota: a forma direta já deu esse valor; se preferir calcular passo a passo: 0{,}045387/0{,}000891\approx50{,}997 e \dfrac{2}{9}\times50{,}997\approx11{,}322.)
Agora t_{95\%}=\tau\ln(20) e \ln(20)\approx2{,}995732. Logo
t_{95\%}\approx11{,}322\times2{,}995732\approx33{,}91\\ \mathrm{s}.

Resposta

33{,}91\\ \mathrm{s} (alternativa (d))

Exercícios relacionados