Questão 4- Seja \mathrm{V}=R_{2 x 2} com o produto interno
f(A, B)=a_{11} b_{11}+2 a_{12} b_{12}+3 a_{21} b_{21}+2_{22} b_{22}
Onde \mathrm{A}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right), \mathrm{B}=\left(\mathrm{b}_{\mathrm{ij}}\right) \in \mathrm{V}. Calcule o ângulo entre as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2\times2} com o produto interno
f(A,B)=a_{11}b_{11}+2\,a_{12}b_{12}+3\,a_{21}b_{21}+2\,a_{22}b_{22}
e pede o ângulo entre
A=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
Para resolver, vamos calcular f(A,B), os módulos \|A\|=\sqrt{f(A,A)} e \|B\|=\sqrt{f(B,B)}, e usar
\cos\theta = \frac{f(A,B)}{\|A\|\;\|B\|}.]

Passo 2

Calculando o produto interno f(A,B) diretamente:
f(A,B) =1\cdot2 +2\cdot(-1)\cdot1 +3\cdot0\cdot(-1) +2\cdot1\cdot1 =2-2+0+2 =2.

Passo 3

Calculando f(A,A) para obter \|A\|^2:
f(A,A) =1\cdot1 +2\cdot(-1)\cdot(-1) +3\cdot0\cdot0 +2\cdot1\cdot1 =1+2+0+2 =5,
logo \|A\|=\sqrt{5}.

Passo 4

Calculando f(B,B) para obter \|B\|^2:
f(B,B) =2\cdot2 +2\cdot1\cdot1 +3\cdot(-1)\cdot(-1) +2\cdot1\cdot1 =4+2+3+2 =11,
logo \|B\|=\sqrt{11}.

Passo 5

Agora usamos a fórmula do cosseno do ângulo:
\cos\theta =\frac{f(A,B)}{\|A\|\;\|B\|} =\frac{2}{\sqrt{5}\,\sqrt{11}} =\frac{2}{\sqrt{55}}.
Portanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{55}}\bigr).

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{55}}\bigr)\approx74,36^\circ.

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