09- A soma das soluções da equação
2 x^{2}+4 x-5=0
é igual a:
a) -5
b) -4
c) -1
d) 0
e) 1

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
2 x^{2}+4 x-5=0
e pergunta qual é a soma das soluções, oferecendo as alternativas:
a) -5
b) -4
c) -1
d) 0
e) 1
Informações fornecidas que vamos usar:
  • Coeficiente a=2 (do termo x^{2}).
  • Coeficiente b=4 (do termo x).
  • Coeficiente c=-5 (termo constante).

Passo 2

Conceito importante (explicado com calma): para uma equação quadrática genérica
a x^{2}+b x+c=0,
sejam x_{1} e x_{2} as duas raízes (soluções). Desenvolvendo a forma fatorada a(x-x_{1})(x-x_{2}) obtém-se
a x^{2}-a(x_{1}+x_{2})x + a x_{1}x_{2}.
Comparando coeficientes com a x^{2}+b x+c vemos que o coeficiente de x satisfaz
-b = -a(x_{1}+x_{2})\quad\Rightarrow\quad x_{1}+x_{2} = -\dfrac{b}{a}.
Ou seja, fórmula prática: a soma das raízes de uma quadrática é -\dfrac{b}{a}.
Exemplo curto para fixar: na equação \,x^{2}-5x+6=0, tem-se a=1, b=-5, então a soma das raízes é -\dfrac{-5}{1}=5. As raízes são 2 e 3 e realmente 2+3=5.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: como a=2 e b=4, a soma das soluções é
x_{1}+x_{2} = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{2}.

Passo 4

Calcule a fração passo a passo:
-\dfrac{4}{2} = -2.
Portanto a soma das soluções é -2.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): calcular as raízes explicitamente usando a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = 4^{2}-4\cdot 2\cdot(-5)=16+40=56.
As raízes são
x = \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4\pm\sqrt{56}}{4} = \dfrac{-2\pm\sqrt{14}}{2}.
Somando-as:
\left(\dfrac{-2+\sqrt{14}}{2}\right)+\left(\dfrac{-2-\sqrt{14}}{2}\right)=\dfrac{-4}{2}=-2,
confirmando o resultado anterior. É sempre bom checar assim se estiver inseguro.

Passo 6

Observação final sobre as alternativas: o valor correto encontrado é -2. Nenhuma das alternativas listadas (a) -5, (b) -4, (c) -1, (d) 0, (e) 1 coincide com -2. Logo, a soma correta das soluções é -2 e não aparece entre as alternativas fornecidas.

Resposta

-2

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