(1,0ponto)Mostre que a equação do plano tangente ao elipsoide
no ponto
pode ser escrita como
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente ao elipsoide
no ponto
.
O conteúdo aqui é o método do gradiente para superfícies definidas implicitamente: se uma superfície é dada por , então o plano tangente em
satisfaz
O conteúdo aqui é o método do gradiente para superfícies definidas implicitamente: se uma superfície é dada por
Passo 2
Definimos
de modo que o elipsoide é
. Pelo método do gradiente, o plano tangente em
satisfaz
Passo 3
Calculamos o gradiente de
:
Em
isso vira
Passo 4
Substituindo no plano tangente:
Dividindo por
e expandindo:
Agrupando termos:
Como
está no elipsoide, vale
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