(1,0ponto)Mostre que a equação do plano tangente ao elipsoide
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1
no ponto (x0, y0, z0) pode ser escrita como
x x0a^2+y y0b^2+z z0c^2=1

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente ao elipsoide
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1
no ponto l(x0,y0,z0r).
O conteúdo aqui é o método do gradiente para superfícies definidas implicitamente: se uma superfície é dada por F(x,y,z)=0, então o plano tangente em P0=(x0,y0,z0) satisfaz
nabla F(P0)cdotl[(x,y,z)-(x0,y0,z0)r]=0

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2-1,
de modo que o elipsoide é F(x,y,z)=0. Pelo método do gradiente, o plano tangente em P0 satisfaz
nabla F(x0,y0,z0);cdot;l(x-x0,,y-y0,,z-z0r)=0

Passo 3

Calculamos o gradiente de F:
nabla F(x,y,z) =l(2xa^2,,2yb^2,,2zc^2r)
Em P0=(x0,y0,z0) isso vira
nabla F(x0,y0,z0) =l(2x0a^2,,2y0b^2,,2z0c^2r)

Passo 4

Substituindo no plano tangente:
2x0a^2(x-x0) +2y0b^2(y-y0) +2z0c^2(z-z0)=0
Dividindo por 2 e expandindo:
x0xa^2-x0^2a^2 +y0yb^2-y0^2b^2 +z0zc^2-z0^2c^2=0
Agrupando termos:
x0xa^2+y0yb^2+z0zc^2 =x0^2a^2+y0^2b^2+z0^2c^2
Como (x0,y0,z0) está no elipsoide, vale
x0^2a^2+y0^2b^2+z0^2c^2=1,
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x0xa^2+y0yb^2+z0zc^2=1

Resposta

x,x0a^2+y,y0b^2+z,z0c^2=1

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