Calcule o limite
l=lim x 0 ln (cos 6 x)ln (cos 3 x)
Resposta: (1) l=2, (2) l=4, (3) l=16, (4) l=8, (5) l=9.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
l = limx to 0 lnl(cos(6x)r)lnl(cos(3x)r)
O conteúdo envolvido é expansão em série de Taylor para funções trigonométricas próximas de zero e uso de equivalentes infinitesimais para calcular limites.

Passo 2

Para xapprox0 temos a expansão
cos t = 1 - t^22 + o(t^2)
Substituindo t=6x e t=3x e tomando logaritmo, obtemos
cos(6x) = 1 - (6x)^22 + o(x^2), cos(3x) = 1 - (3x)^22 + o(x^2),
então
lnl(cos(6x)r) = ln!l(1 - 36x^22 + o(x^2)r) sim -36x^22,
lnl(cos(3x)r) = ln!l(1 - 9x^22 + o(x^2)r) sim -9x^22

Passo 3

Formando a razão dos equivalentes:
lnl(cos(6x)r)lnl(cos(3x)r) sim -tfrac36x^22-tfrac9x^22 = 369 =4

Passo 4

Portanto o limite existe e vale 4. Entre as alternativas dadas, corresponde à opção (2).

Resposta

(2) l=4

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