Resolver y^prime prime+y^prime=sec ^2(t) 0<t<pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' + y' = sec^2(t),
valendo para 0<t<pi/2.
O conteúdo que vamos usar é:
  1. solução da equação homogênea associada;
  2. método de redução de ordem (definindo v=y') para transformar em uma equação de primeira ordem;
  3. fator integrante para resolver essa equação de primeira ordem;
  4. integração de v para obter y.

Passo 2

Primeiro, achamos a solução geral da parte homogênea
y'' + y' = 0
A equação característica é
r^2 + r = 0 Longrightarrow r(r+1)=0 Longrightarrow r=0,,-1
Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 + C2 e^-t

Passo 3

Para encontrar uma particular, definimos
v(t) = y'(t)
Então y''=v' e a equação original vira
v' + v = sec^2(t)
Isto é uma equação linear de primeira ordem em v.

Passo 4

Usamos fator integrante
mu(t)=e^integral 1,dt=e^t,
multiplicando a equação por mu:
e^t,v' + e^t,v = e^tsec^2(t) Longrightarrow l(v,e^tr)' = e^tsec^2(t)
Integramos ambos os lados:
v(t),e^t = integral e^tsec^2(t),dt + K Longrightarrow v(t)=e^-t!integral e^tsec^2(t),dt ;+;K,e^-t

Passo 5

Voltando a y, temos
y'(t)=v(t)=e^-t!integral e^tsec^2(t),dt + K,e^-t
Integrando em t:
y(t) =integral y'(t),dt =integral e^-t!integral e^tsec^2(t),dt,dt +Kintegral e^-t,dt + C3
Podemos reescrever a parte particular de forma mais direta usando integrais definidas e observando que
integralsec^2(t),dt=tan(t). Uma forma compacta da solução geral é
y(t) = C1 + C2 e^-t + tan(t) - e^-tintegralt0^te^ssec^2(s),ds,
em que C1,C2 absorvem as constantes de integração e t0 é um ponto fixo em (0,pi/2).

Resposta

boxed y(t)=C1 + C2 e^-t + tan(t) - e^-tintegral^te^s,sec^2(s),ds,
em que C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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