Resolver
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
valendo para
.
O conteúdo que vamos usar é:
O conteúdo que vamos usar é:
- solução da equação homogênea associada;
- método de redução de ordem (definindo
) para transformar em uma equação de primeira ordem; - fator integrante para resolver essa equação de primeira ordem;
- integração de
para obter .
Passo 2
Primeiro, achamos a solução geral da parte homogênea
A equação característica é
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para encontrar uma particular, definimos
Então
e a equação original vira
Isto é uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 4
Usamos fator integrante
multiplicando a equação por
:
Integramos ambos os lados:
Passo 5
Voltando a
, temos
Integrando em
:
Podemos reescrever a parte particular de forma mais direta usando integrais definidas e observando que
. Uma forma compacta da solução geral é
em que
absorvem as constantes de integração e
é um ponto fixo em
.
Resposta
em que
e
são constantes arbitrárias.