Calcule o limite
l=lim x 0 e^x-e^sin xx^3
Resposta: (1) l=2 / 3, (2) l=1 / 3, (3) l=2 / 9, (4) l=1 / 6, (5) l=1 / 9.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
l=limxto0e^x-e^sin xx^3
Para isso, vamos usar as expansões em série de Taylor de e^x e de sin x em torno de 0 até a ordem x^3.

Passo 2

Expandimos e^x até termos de ordem x^3:
e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + O(x^4)

Passo 3

Expandimos sin x até termos de ordem x^3:
sin x = x - x^36 + O(x^5)

Passo 4

Para obter e^sin x, substituímos a expansão de sin x na série de e^t. Até ordem x^3 temos
e^sin x =1+sin x+(sin x)^22+(sin x)^36+O(x^4)
e usando as expansões
e^sin x =1 +l(x-x^36r) +12l(x^2+O(x^4)r) +16l(x^3+O(x^5)r) +O(x^4) =1 + x + x^22 + O(x^4),
pois os termos em x^3 se anularam.

Passo 5

Subtraindo as duas séries e dividindo por x^3, obtemos
e^x - e^sin xx^3 =l(1 + x + tfracx^22 + tfracx^36 + O(x^4)r) -l(1 + x + tfracx^22 + O(x^4)r)x^3 =tfracx^36+O(x^4)x^3 =16+O(x)
Fica claro que
l=limxto0e^x - e^sin xx^3=16

Passo 6

Comparando com as alternativas, concluímos que o valor de l corresponde à opção (4).

Resposta

(4) l = 16

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