(2,0pts) Encontre o simétrico de P=(1,-2,3) em relação a r: x=y=2.

Passo 1

O enunciado dá um ponto e uma reta e pede o simétrico do ponto em relação à reta. Mais precisamente:
  • Ponto dado: P=(1,-2,3).
  • Reta dada: r:\\ x=y=2.
    Isso significa que a reta é formada por todos os pontos (2,2,z), com z\in\mathbb{R} (uma reta paralela ao eixo z que passa por (2,2,0)).
  • O que se pede: encontrar o ponto P' que é o reflexo (simétrico) de P em relação à reta r. Ou seja, r deve ser a mediatriz (o conjunto de pontos médios) do segmento \overline{PP'} e o segmento \overline{PP'} deve ser perpendicular a r.

Passo 2

Entendimento do que significa refletir um ponto em relação a uma reta em \mathbb{R}^3 (aula rápida e intuitiva).
  • Se uma reta r tem um ponto qualquer A nela e vetor diretor \mathbf{v}, qualquer ponto da reta pode ser escrito como A+t\mathbf{v} com t\in\mathbb{R}.
  • Para refletir P em r primeiro encontramos o pé da perpendicular H de P sobre r. Esse ponto H é a projeção ortogonal de P sobre r.
  • Geometricamente, H é o ponto da reta mais próximo de P; no reflexo P' temos que H é o ponto médio de PP'. Portanto a fórmula fácil para obter P' é
P' = 2H - P,
aplicada coordenada a coordenada.
  • Para achar H usamos a projeção: se a reta passa por A e tem direção \mathbf{v}, então
H = A + t\mathbf{v},\quad\text{onde}\quad t=\frac{\mathbf{v}\cdot (P-A)}{\|\mathbf{v}\|^2}.
Aqui \mathbf{v}\cdot (P-A) é o produto escalar entre \mathbf{v} e P-A, e \|\mathbf{v}\|^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}.

Passo 3

Escrever a reta r em forma paramétrica para aplicar a fórmula.
  • Tomo A=(2,2,0) como um ponto da reta (peguei isso da descrição x=y=2; qualquer ponto (2,2,z_0) serve).
  • O vetor diretor da reta é \mathbf{v}=(0,0,1) (reta paralela ao eixo z).
  • Assim a reta é r:\; A+t\mathbf{v}=(2,2,0)+t(0,0,1)=(2,2,t).

Passo 4

Calcular o parâmetro t da projeção de P sobre r (usar a fórmula de projeção).
  • Primeiro P-A=(1,-2,3)-(2,2,0)=(-1,-4,3).
  • Produto escalar \mathbf{v}\cdot(P-A)=(0,0,1)\cdot(-1,-4,3)=3.
  • Norma ao quadrado \|\mathbf{v}\|^2=(0)^2+(0)^2+(1)^2=1.
  • Logo
t=\frac{\mathbf{v}\cdot(P-A)}{\|\mathbf{v}\|^2}=\frac{3}{1}=3.
  • O pé da perpendicular é
H=A+t\mathbf{v}=(2,2,0)+3(0,0,1)=(2,2,3).

Passo 5

Calcular o simétrico P' usando P'=2H-P (coordenação por coordenação).
  • Coordenadas:
x' = 2\cdot 2 - 1 = 3,
y' = 2\cdot 2 - (-2) = 6,
z' = 2\cdot 3 - 3 = 3.
  • Portanto
P'=(3,6,3).

Passo 6

Verificação rápida e interpretação geométrica (para fixar a ideia).
  • O ponto médio de P e P' é
\frac{P+P'}{2}=\frac{(1,-2,3)+(3,6,3)}{2}=(2,2,3)=H,
que pertence à reta r (tem x=y=2). O vetor P'-P=(2,8,0) é perpendicular a \mathbf{v}=(0,0,1) no sentido de que sua componente na direção de \mathbf{v} é zero, ou seja, o deslocamento entre P e P' é puramente horizontal (no plano xy), como esperado para reflexão em uma reta vertical. Isso confirma que P' é mesmo o simétrico.

Resposta

(3,6,3)

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