(2,0pts) Encontre o simétrico de P=(1,-2,3) em relação a r: x=y=2.
Passo 1
O enunciado dá um ponto e uma reta e pede o simétrico do ponto em relação à reta. Mais precisamente:
Ponto dado: P=(1,-2,3).
Reta dada: r:\\ x=y=2.
Isso significa que a reta é formada por todos os pontos (2,2,z), com z\in\mathbb{R} (uma reta paralela ao eixo z que passa por (2,2,0)).
O que se pede: encontrar o ponto P' que é o reflexo (simétrico) de P em relação à reta r. Ou seja, r deve ser a mediatriz (o conjunto de pontos médios) do segmento \overline{PP'} e o segmento \overline{PP'} deve ser perpendicular a r.
Passo 2
Entendimento do que significa refletir um ponto em relação a uma reta em \mathbb{R}^3 (aula rápida e intuitiva).
Se uma reta r tem um ponto qualquer A nela e vetor diretor \mathbf{v}, qualquer ponto da reta pode ser escrito como A+t\mathbf{v} com t\in\mathbb{R}.
Para refletir P em r primeiro encontramos o pé da perpendicular H de P sobre r. Esse ponto H é a projeção ortogonal de P sobre r.
Geometricamente, H é o ponto da reta mais próximo de P; no reflexo P' temos que H é o ponto médio de PP'. Portanto a fórmula fácil para obter P' é
P' = 2H - P,
aplicada coordenada a coordenada.
Para achar H usamos a projeção: se a reta passa por A e tem direção \mathbf{v}, então
H = A + t\mathbf{v},\quad\text{onde}\quad t=\frac{\mathbf{v}\cdot (P-A)}{\|\mathbf{v}\|^2}.
Aqui \mathbf{v}\cdot (P-A) é o produto escalar entre \mathbf{v} e P-A, e \|\mathbf{v}\|^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}.
Passo 3
Escrever a reta r em forma paramétrica para aplicar a fórmula.
Tomo A=(2,2,0) como um ponto da reta (peguei isso da descrição x=y=2; qualquer ponto (2,2,z_0) serve).
O vetor diretor da reta é \mathbf{v}=(0,0,1) (reta paralela ao eixo z).
Assim a reta é r:\; A+t\mathbf{v}=(2,2,0)+t(0,0,1)=(2,2,t).
Passo 4
Calcular o parâmetro t da projeção de P sobre r (usar a fórmula de projeção).
que pertence à reta r (tem x=y=2). O vetor P'-P=(2,8,0) é perpendicular a \mathbf{v}=(0,0,1) no sentido de que sua componente na direção de \mathbf{v} é zero, ou seja, o deslocamento entre P e P' é puramente horizontal (no plano xy), como esperado para reflexão em uma reta vertical. Isso confirma que P' é mesmo o simétrico.