Verdadeiro ou Falso. Justifique.
Duas retas r: \frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z-z_{1}}{p_{1}} e s: \frac{x-x_{2}}{m_{2}}=\frac{y-y_{2}}{n_{2}}=\frac{z-z_{2}}{p_{2}} estão contidas num mesmo plano se e somente se \left|\begin{array}{ccc}x_{1}-x_{2} & y_{1}-y_{2} & z_{1}-z_{2} \\\ m_{1} & n_{1} & p_{1} \\\ m_{2} & n_{2} & p_{2}\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado dá duas retas
r:\frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z-z_{1}}{p_{1}} \qquad\text{e}\qquad s:\frac{x-x_{2}}{m_{2}}=\frac{y-y_{2}}{n_{2}}=\frac{z-z_{2}}{p_{2}}
e pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
\text{As retas }r\text{ e }s\text{ estão contidas num mesmo plano} \iff \left|\begin{array}{ccc} x_{1}-x_{2} & y_{1}-y_{2} & z_{1}-z_{2} \\\ m_{1} & n_{1} & p_{1} \\\ m_{2} & n_{2} & p_{2} \end{array}\right|=0.ã
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada reta está dada na forma simétrica; os vetores direção são \mathbf{v}_{1}=(m_{1},n_{1},p_{1}) e \mathbf{v}_{2}=(m_{2},n_{2},p_{2}).
  • Pontos que pertencem às retas: \mathbf{r}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})\in r e \mathbf{r}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})\in s.
  • A expressão no determinante é o produto misto (triplo produto escalar) de \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}, \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2}.

Passo 2

Transformar as retas para forma vetorial paramétrica (é prático e clarifica o que são os vetores):
r:\\ \mathbf{R}(t)=\mathbf{r}_{1}+t\,\mathbf{v}_{1},\qquad t\in\mathbb{R},
s:\\ \mathbf{S}(u)=\mathbf{r}_{2}+u\,\mathbf{v}_{2},\qquad u\in\mathbb{R}.
Aqui \mathbf{r}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}) e \mathbf{r}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}) são pontos fixos nas retas, e \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2} são os vetores direção. Isso quer dizer que qualquer ponto de r tem a forma \mathbf{r}_{1}+t\mathbf{v}_{1} e qualquer ponto de s tem a forma \mathbf{r}_{2}+u\mathbf{v}_{2}.

Passo 3

Explicar geometricamente o que significa “estar contidas num mesmo plano” em termos de vetores:
  • Uma reta r e outra reta s estão no mesmo plano quando existe um plano que contém ambos. Um plano pode ser descrito como
\Pi=\{\mathbf{r}_{1}+\alpha \mathbf{v}_{1}+\beta \mathbf{w}\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}
para algum vetor \mathbf{w} que não seja múltiplo de \mathbf{v}_{1}. Em particular, se a reta s está em \Pi, então tanto o ponto base \mathbf{r}_{2} quanto o vetor direção \mathbf{v}_{2} estão em \Pi.
  • Uma condição prática e muito usada: r e s são coplanares se, e somente se, o vetor que liga os pontos de referência \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} pertence ao subespaço gerado por \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2}; isto é, existem escalares \alpha,\beta tais que
\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}=\alpha\,\mathbf{v}_{1}+\beta\,\mathbf{v}_{2}.
Justificativa curta: se isso ocorre, então \mathbf{r}_{2} fica no plano gerado por \mathbf{r}_{1},\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2} e como \mathbf{v}_{2} também está nesse plano, toda a reta s (pontos \mathbf{r}_{2}+u\mathbf{v}_{2}) fica no mesmo plano; recíprocamente, se s estiver no plano que contém r então \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} é combinação linear de \mathbf{v}_{1} e de algum vetor do plano — em particular de \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} (caso \mathbf{v}_{2} seja paralelo a \mathbf{v}_{1} adapta-se a interpretação, ver observação abaixo).

Passo 4

Ligar essa condição com o determinante apresentado (produto misto):
  • O produto misto (ou triplo produto escalar) de três vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} é (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c} e numericamente é igual ao determinante cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas de \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.
  • Assim o determinante do enunciado é exatamente o produto misto
\left|\begin{array}{ccc} x_{1}-x_{2} & y_{1}-y_{2} & z_{1}-z_{2} \\\ m_{1} & n_{1} & p_{1} \\\ m_{2} & n_{2} & p_{2} \end{array}\right| = (\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2})\cdot(\mathbf{v}_{1}\times\mathbf{v}_{2}).
  • Agora, propriedade importante: (\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2})\cdot(\mathbf{v}_{1}\times\mathbf{v}_{2})=0 se, e somente se, os três vetores \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}, \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} são linearmente dependentes (porque o produto misto mede o volume do paralelepípedo formado por eles; volume zero ⇔ dependência linear ⇔ vetores coplanares).

Passo 5

Provar a equivalência (se e somente se) explicitamente — duas direções:
Direção 1 (se as retas são coplanares então determinante é zero).
  • Se r e s estão no mesmo plano, então \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} está no plano gerado por \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2}. Logo existem \alpha,\beta tais que
\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}=\alpha\mathbf{v}_{1}+\beta\mathbf{v}_{2}.
  • Isso significa que \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}, \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} são linearmente dependentes, logo o produto misto é zero:
(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2})\cdot(\mathbf{v}_{1}\times\mathbf{v}_{2})=0,
que é exatamente o determinante do enunciado.
Direção 2 (se o determinante é zero então as retas são coplanares).
  • Se
(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2})\cdot(\mathbf{v}_{1}\times\mathbf{v}_{2})=0,
então \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}, \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} são linearmente dependentes, isto é, \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} é combinação linear de \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2}:
\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}=\alpha\mathbf{v}_{1}+\beta\mathbf{v}_{2}
para alguns \alpha,\beta. Então \mathbf{r}_{2} pertence ao plano gerado por \mathbf{r}_{1},\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}, e como \mathbf{v}_{2} também está nesse plano, a reta s inteira fica dentro desse plano. Logo r e s são coplanares.

Passo 6

Observações e casos especiais (para não cair em armadilhas nas provas):
  • Caso \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} sejam paralelos (ou proporcionais), então as duas últimas linhas do determinante são dependentes e o determinante vale zero independentemente de \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}. Geometricamente, se as direções são proporcionais, as retas são paralelas (ou coincidentes) e, portanto, são sempre coplanares — condiz com determinante zero.
  • Os vetores direção não podem ser o vetor nulo porque aí a “reta” não estaria bem definida; supõe-se \mathbf{v}_{1}\neq\mathbf{0} e \mathbf{v}_{2}\neq\mathbf{0}.
  • O caso em que as retas se intersectam é um subcaso de coplanaridade: se há t,u tais que \mathbf{r}_{1}+t\mathbf{v}_{1}=\mathbf{r}_{2}+u\mathbf{v}_{2}, então claramente existe um plano contendo ambas, e a condição do determinante também se verifica.

Passo 7

Conclusão final: a condição do determinante ser zero é equivalente à coplanaridade das duas retas. Portanto a afirmação do enunciado é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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