(2,0 pts) Determine os vértices, os focos, as assíntotas, a medida do eixo transverso e a medida do eíxo conjugado da hipérbole
. Faça um esboço.
Passo 1
O enunciado dá a equação da curva
e pede que eu determine:
- os vértices;
- os focos;
- as assíntotas;
- a medida do eixo transverso;
- a medida do eixo conjugado;
- e que eu faça um esboço da hipérbole.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A equação explícita é
. - Não há translação indicada (não aparecem termos lineares em
ou ), então o centro provável é . - Preciso extrair parâmetros da forma padrão da hipérbole para obter
, e .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma hipérbole para identificar
e
.
Vou dividir ambos os lados por
para normalizar o lado direito igual a
:
Simplificando as frações:
Agora a equação está na forma padrão
onde, por comparação,
e
.
Passo 3
Determinar
e
a partir de
e
.
- Como
, então . - Como
, então .
Explicação didática rápida:
é metade da medida do semi-eixo correspondente ao termo positivo (aqui o termo em
), e
é o semi-eixo correspondente ao termo negativo (aqui o termo em
). Para hipérboles na forma
a hipérbole abre para cima e para baixo (eixo transverso vertical).
Passo 4
Identificar o centro e a direção do eixo transverso (orientação).
- Como a forma é centrada sem termos lineares, o centro é
. - O termo positivo é o de
, então o eixo transverso é vertical (a hipérbole tem duas ramos voltados para cima e para baixo, com vértices sobre o eixo ).
Passo 5
Calcular os vértices.
Definição: para a forma
com centro em
e eixo transverso vertical, os vértices ficam em
.
Como
, os vértices são:
Passo 6
Calcular os focos.
Teoria: para uma hipérbole na forma
tem-se a relação
onde
é a distância do centro a cada foco. Os focos ficam em
(porque o eixo transverso é vertical).
Calculemos
:
logo
Assim os focos são:
Como referência numérica aproximada,
, mas normalmente é deixado em forma radical.
Passo 7
Determinar as assíntotas.
Motivação/derivação curta: para valores grandes de
e
a hipérbole se aproxima da equação obtida ao anular o
no lado direito, ou seja
Tomando raízes e sinais, obtemos as retas
No nosso caso
e
, então as assíntotas são as retas
Passo 8
Calcular as medidas dos eixos (transverso e conjugado).
Definições:
- Medida do eixo transverso = comprimento total do eixo que liga os dois vértices =
. - Medida do eixo conjugado = comprimento total do eixo correspondente ao semi-eixo
= (mesmo que esse eixo não intersecte a hipérbole, é a medida usada).
Com
e
:
Passo 9
Como fazer o esboço (passo a passo prático para desenhar à mão, sem régua só com pontos principais):
- Desenhar os eixos
e e marcar o centro em . - Marcar os vértices em
e . - Marcar os focos em
e (aprox. e ), um pouco além dos vértices. - Traçar as assíntotas como retas passando pela origem com inclinação
: uma subindo suave à direita (reta ) e a outra descendo simetricamente (reta ). - Desenhar os dois ramos da hipérbole abrindo para cima e para baixo, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas à medida que se afastam do centro.
- (Opcional) Para obter pontos adicionais, calcule valores: por exemplo, para
(peguei um valor para desenhar), substituindo na equação original obtém-se ; marque esses pontos para guiar a curva.
Pronto — com isso obtém-se um esboço coerente: ramos verticais centrados em
, vértices em
, focos em
e assíntotas
.
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
Assíntotas: e
Medida do eixo transverso:
Medida do eixo conjugado:
Focos:
Assíntotas:
Medida do eixo transverso:
Medida do eixo conjugado: