(2,0 pts) Determine os vértices, os focos, as assíntotas, a medida do eixo transverso e a medida do eíxo conjugado da hipérbole 25 y^{2}-4 x^{2}=100. Faça um esboço.

Passo 1

O enunciado dá a equação da curva
25y^{2}-4x^{2}=100
e pede que eu determine:
  • os vértices;
  • os focos;
  • as assíntotas;
  • a medida do eixo transverso;
  • a medida do eixo conjugado;
  • e que eu faça um esboço da hipérbole.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A equação explícita é 25y^{2}-4x^{2}=100.
  • Não há translação indicada (não aparecem termos lineares em x ou y), então o centro provável é (0,0).
  • Preciso extrair parâmetros da forma padrão da hipérbole para obter a, b e c.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma hipérbole para identificar a e b.
Vou dividir ambos os lados por 100 para normalizar o lado direito igual a 1:
\frac{25y^{2}}{100}-\frac{4x^{2}}{100}=1.
Simplificando as frações:
\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{25}=1.
Agora a equação está na forma padrão
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,
onde, por comparação, \;a^{2}=4 e \;b^{2}=25.

Passo 3

Determinar a e b a partir de a^{2} e b^{2}.
  • Como a^{2}=4, então a=\sqrt{4}=2.
  • Como b^{2}=25, então b=\sqrt{25}=5.
Explicação didática rápida: a é metade da medida do semi-eixo correspondente ao termo positivo (aqui o termo em y^{2}), e b é o semi-eixo correspondente ao termo negativo (aqui o termo em x^{2}). Para hipérboles na forma \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1 a hipérbole abre para cima e para baixo (eixo transverso vertical).

Passo 4

Identificar o centro e a direção do eixo transverso (orientação).
  • Como a forma é centrada sem termos lineares, o centro é (0,0).
  • O termo positivo é o de y^{2}, então o eixo transverso é vertical (a hipérbole tem duas ramos voltados para cima e para baixo, com vértices sobre o eixo y).

Passo 5

Calcular os vértices.
Definição: para a forma \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1 com centro em (0,0) e eixo transverso vertical, os vértices ficam em (0,\pm a).
Como a=2, os vértices são:
(0,2)\quad\text{e}\quad(0,-2).

Passo 6

Calcular os focos.
Teoria: para uma hipérbole na forma \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1 tem-se a relação
c^{2}=a^{2}+b^{2},
onde c é a distância do centro a cada foco. Os focos ficam em (0,\pm c) (porque o eixo transverso é vertical).
Calculemos c:
c^{2}=a^{2}+b^{2}=4+25=29,
logo
c=\sqrt{29}.
Assim os focos são:
(0,\sqrt{29})\quad\text{e}\quad(0,-\sqrt{29}).
Como referência numérica aproximada, \sqrt{29}\approx 5{,}385, mas normalmente é deixado em forma radical.

Passo 7

Determinar as assíntotas.
Motivação/derivação curta: para valores grandes de |x| e |y| a hipérbole se aproxima da equação obtida ao anular o 1 no lado direito, ou seja
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{y^{2}}{a^{2}}=\frac{x^{2}}{b^{2}}.
Tomando raízes e sinais, obtemos as retas
y=\pm\frac{a}{b}\,x.
No nosso caso a=2 e b=5, então as assíntotas são as retas
y=\frac{2}{5}x \qquad\text{e}\qquad y=-\frac{2}{5}x.

Passo 8

Calcular as medidas dos eixos (transverso e conjugado).
Definições:
  • Medida do eixo transverso = comprimento total do eixo que liga os dois vértices = 2a.
  • Medida do eixo conjugado = comprimento total do eixo correspondente ao semi-eixo b = 2b (mesmo que esse eixo não intersecte a hipérbole, é a medida usada).
Com a=2 e b=5:
\text{eixo transverso} = 2a = 4,
\text{eixo conjugado} = 2b = 10.

Passo 9

Como fazer o esboço (passo a passo prático para desenhar à mão, sem régua só com pontos principais):
  1. Desenhar os eixos x e y e marcar o centro em (0,0).
  2. Marcar os vértices em (0,2) e (0,-2).
  3. Marcar os focos em (0,\sqrt{29}) e (0,-\sqrt{29}) (aprox. (0,5{,}39) e (0,-5{,}39)), um pouco além dos vértices.
  4. Traçar as assíntotas como retas passando pela origem com inclinação 2/5: uma subindo suave à direita (reta y=\tfrac{2}{5}x) e a outra descendo simetricamente (reta y=-\tfrac{2}{5}x).
  5. Desenhar os dois ramos da hipérbole abrindo para cima e para baixo, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas à medida que se afastam do centro.
  6. (Opcional) Para obter pontos adicionais, calcule valores: por exemplo, para x=5 (peguei um valor para desenhar), substituindo na equação original obtém-se y=\pm 2\sqrt{2}\approx\pm2{,}828; marque esses pontos para guiar a curva.
Pronto — com isso obtém-se um esboço coerente: ramos verticais centrados em (0,0), vértices em (0,\pm2), focos em (0,\pm\sqrt{29}) e assíntotas y=\pm\tfrac{2}{5}x.

Resposta

Vértices: (0,2) e (0,-2)
Focos: (0,\sqrt{29}) e (0,-\sqrt{29})
Assíntotas: y=\dfrac{2}{5}x e y=-\dfrac{2}{5}x
Medida do eixo transverso: 4
Medida do eixo conjugado: 10

Exercícios relacionados