1. (3,0valores) Determine o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}\left(\frac{x}{2}\right)^{n} e investigue a convergência nas extremidades.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{n}
e que a gente verifique o que acontece em x=2 e em x=-2. O conteúdo principal é o teste da razão para séries de potências, que nos dá o raio de convergência, e em seguida o teste da nulidade do termo geral nos extremos.

Passo 2

Aplique o teste da razão: defina
a_{n}(x)=\frac{n}{n+1}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{n}
e calcule
L=\lim_{n\to\infty}\biggl|\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}\biggr| =\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n+1}{n+2}\,\bigl|\frac{x}{2}\bigr|^{\,n+1}} {\frac{n}{n+1}\,\bigl|\frac{x}{2}\bigr|^{\,n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\;\bigl|\tfrac{x}{2}\bigr| =\bigl|\tfrac{x}{2}\bigr|.
Pelo teste da razão, converge se L<1, ou seja, se
\bigl|\tfrac{x}{2}\bigr|<1 \;\Longleftrightarrow\; |x|<2.

Passo 3

Daí o raio de convergência é R=2 e, por ora, a gente tem convergência em -2<x<2. Falta verificar as extremidades x=2 e x=-2.

Passo 4

Em x=2 a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\,1^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}.
Como \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1\neq0, o termo geral não tende a zero e a série diverge.

Passo 5

Em x=-2 a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}(-1)^{n}.
O termo geral em valor absoluto é \frac{n}{n+1}\to1, logo novamente não tende a zero e a série diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é (-2,2). Em x=2 e em x=-2 a série diverge.

Exercícios relacionados