Calcular
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função exponencial
é contínua em todo . - A raiz quadrada
é contínua para ; quando está próximo de tem-se , então é bem definida e contínua perto de . - O logaritmo natural
é contínuo para ; aqui o argumento é sempre maior que , logo é bem definido e contínuo perto de . - Queremos, portanto, o valor do quociente entre o numerador
e o denominador quando .
Passo 2
Calcular o limite de cada parcela do numerador separadamente usando continuidade:
- Pela continuidade da exponencial,
- Pela continuidade da raiz quadrada (e porque
),
Passo 3
Concluir o limite do numerador subtraindo os limites das parcelas (propriedade da soma/diferença de limites):
Passo 4
Calcular o limite do denominador usando continuidade do logaritmo:
Note que
é um número positivo e, em particular, diferente de zero.
Passo 5
Aplicar o teorema do limite do quociente: se
e
com
, então
Aqui
(Passo 3) e
(Passo 4). Portanto o limite pedido é
Passo 6
Comentário pedagógico curto (opcional, para ganhar confiança): se quiser ver a ordem de anulação do numerador, pode expandir em séries de Taylor:
-
, -
.
Assim o numerador é, que tende a como . O denominador tende a , confirmando que a razão tende a .
Resposta
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