[1,0] Calcular \lim _{x \rightarrow 0}\left(\exp \left(x^{2}\right)-\sqrt{1-x^{2}+x^{3}}\right) / \ln \left(11+x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0}\frac{\exp\!\bigl(x^{2}\bigr)-\sqrt{1-x^{2}+x^{3}}}{\ln\!\bigl(11+x^{2}\bigr)}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função exponencial \exp(t) é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A raiz quadrada \sqrt{t} é contínua para t>0; quando x está próximo de 0 tem-se 1-x^{2}+x^{3}>0, então \sqrt{1-x^{2}+x^{3}} é bem definida e contínua perto de 0.
  • O logaritmo natural \ln(t) é contínuo para t>0; aqui o argumento 11+x^{2} é sempre maior que 11, logo \ln(11+x^{2}) é bem definido e contínuo perto de 0.
  • Queremos, portanto, o valor do quociente entre o numerador \exp(x^{2})-\sqrt{1-x^{2}+x^{3}} e o denominador \ln(11+x^{2}) quando x\to0.

Passo 2

Calcular o limite de cada parcela do numerador separadamente usando continuidade:
  • Pela continuidade da exponencial,
\lim_{x\to 0}\exp\!\bigl(x^{2}\bigr)=\exp(0)=1.
  • Pela continuidade da raiz quadrada (e porque 1-x^{2}+x^{3}\to1>0),
\lim_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}+x^{3}}=\sqrt{1}=1.

Passo 3

Concluir o limite do numerador subtraindo os limites das parcelas (propriedade da soma/diferença de limites):
\lim_{x\to 0}\bigl(\exp(x^{2})-\sqrt{1-x^{2}+x^{3}}\bigr)=1-1=0.

Passo 4

Calcular o limite do denominador usando continuidade do logaritmo:
\lim_{x\to 0}\ln\!\bigl(11+x^{2}\bigr)=\ln(11+0)=\ln(11).
Note que \ln(11) é um número positivo e, em particular, diferente de zero.

Passo 5

Aplicar o teorema do limite do quociente: se \lim_{x\to 0}A(x)=A_0 e \lim_{x\to 0}B(x)=B_0 com B_0\neq 0, então
\lim_{x\to 0}\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{A_0}{B_0}.
Aqui A_0=0 (Passo 3) e B_0=\ln(11)\neq 0 (Passo 4). Portanto o limite pedido é
\frac{0}{\ln(11)}=0.

Passo 6

Comentário pedagógico curto (opcional, para ganhar confiança): se quiser ver a ordem de anulação do numerador, pode expandir em séries de Taylor:
  • \exp(x^{2})=1+x^{2}+O(x^{4}),
  • \sqrt{1-x^{2}+x^{3}}=1+\tfrac{-x^{2}+x^{3}}{2}+O(x^{4})=1-\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{3}}{2}+O(x^{4}).
    Assim o numerador é \bigl(1+x^{2}+\dots\bigr)-\bigl(1-\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{3}}{2}+\dots\bigr)=\tfrac{3}{2}x^{2}-\tfrac{x^{3}}{2}+O(x^{4}), que tende a 0 como x^{2}. O denominador tende a \ln(11)\neq0, confirmando que a razão tende a 0.

Resposta

0

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