Determinar os valores extremos da função
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar os valores extremos.
Informações e perguntas claras:
Informações e perguntas claras:
- Função dada:
. - Deve-se encontrar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos (valores extremos); isto inclui classificar cada ponto como máximo local ou mínimo local e dizer se há máximo/mínimo global.
Passo 2
Conceito importante (derivada e extremos): para funções diferenciáveis, os valores extremos locais ocorrem em pontos críticos, isto é, pontos onde a derivada é zero ou não existe. Aqui temos um polinômio (sempre diferenciável), então vamos achar onde a derivada se anula. A derivada nos dá a taxa de variação:
significa função crescente,
significa decrescente; uma mudança de crescente para decrescente indica um máximo local, e de decrescente para crescente indica um mínimo local.
Passo 3
Calcular a derivada termo a termo (regra: se
então
):
Aplicando as regras:
Passo 4
Encontrar pontos críticos resolvendo
. Temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Fatorando:
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Método de classificação (teste da segunda derivada): a segunda derivada indica a concavidade; se
então há um máximo local em
; se
então há um mínimo local. Calcular
:
Passo 6
Avaliar
nos pontos críticos:
- Para
:
logo em
a função tem um máximo local.
- Para
:
logo em
a função tem um mínimo local.
Passo 7
Calcular os valores de
nesses pontos para obter as coordenadas dos extremos:
- Para
:
Fazendo as contas passo a passo:
,
,
. Então
.
- Para
:
Passo a passo:
,
,
. Então
.
Portanto os extremos locais estão em
(máximo local) e
(mínimo local).
Passo 8
Verificação alternativa por sinal da derivada (opcional mas didático): analisar
.
- Para
, escolhe-se : → crescente à esquerda de . - Entre
e , escolhe-se : → decrescente entre e . - Para
, escolhe-se : → crescente à direita de .
Isso confirma: emhá mudança crescente→decrescente (máximo local) e em mudança decrescente→crescente (mínimo local).
Observação sobre extremos globais: como é um polinômio de grau
com coeficiente líder positivo, tem
quando
e
quando
. Portanto não há máximo global nem mínimo global (os extremos encontrados são locais).
Resposta
Máximo local em
.
Mínimo local em .
Não existe máximo global nem mínimo global.
Mínimo local em
Não existe máximo global nem mínimo global.