[1,0] Determinar os valores extremos da função y=x^{3}-6 x^{2}+9 x-17.

Passo 1

O enunciado dá a função y = x^{3} - 6x^{2} + 9x - 17 e pede para determinar os valores extremos.
Informações e perguntas claras:
  • Função dada: y(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-17.
  • Deve-se encontrar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos (valores extremos); isto inclui classificar cada ponto como máximo local ou mínimo local e dizer se há máximo/mínimo global.

Passo 2

Conceito importante (derivada e extremos): para funções diferenciáveis, os valores extremos locais ocorrem em pontos críticos, isto é, pontos onde a derivada é zero ou não existe. Aqui temos um polinômio (sempre diferenciável), então vamos achar onde a derivada se anula. A derivada nos dá a taxa de variação: y'(x)>0 significa função crescente, y'(x)<0 significa decrescente; uma mudança de crescente para decrescente indica um máximo local, e de decrescente para crescente indica um mínimo local.

Passo 3

Calcular a derivada termo a termo (regra: se y=x^{n} então y'=n x^{n-1}):
y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-6\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+9\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)-\frac{d}{dx}(17).
Aplicando as regras:
y'(x)=3x^{2}-12x+9.

Passo 4

Encontrar pontos críticos resolvendo y'(x)=0. Temos:
3x^{2}-12x+9=0.
Dividindo ambos os lados por 3:
x^{2}-4x+3=0.
Fatorando:
(x-1)(x-3)=0.
Portanto os pontos críticos são x=1 e x=3.

Passo 5

Método de classificação (teste da segunda derivada): a segunda derivada indica a concavidade; se y''(x_0)<0 então há um máximo local em x_0; se y''(x_0)>0 então há um mínimo local. Calcular y''(x):
y''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-12x+9\bigr)=6x-12.

Passo 6

Avaliar y'' nos pontos críticos:
  • Para x=1:
y''(1)=6\cdot 1-12=6-12=-6<0,
logo em x=1 a função tem um máximo local.
  • Para x=3:
y''(3)=6\cdot 3-12=18-12=6>0,
logo em x=3 a função tem um mínimo local.

Passo 7

Calcular os valores de y nesses pontos para obter as coordenadas dos extremos:
  • Para x=1:
y(1)=1^{3}-6\cdot1^{2}+9\cdot1-17=1-6+9-17.
Fazendo as contas passo a passo: 1-6=-5, -5+9=4, 4-17=-13. Então y(1)=-13.
  • Para x=3:
y(3)=3^{3}-6\cdot3^{2}+9\cdot3-17=27-54+27-17.
Passo a passo: 27-54=-27, -27+27=0, 0-17=-17. Então y(3)=-17.
Portanto os extremos locais estão em (1,-13) (máximo local) e (3,-17) (mínimo local).

Passo 8

Verificação alternativa por sinal da derivada (opcional mas didático): analisar y'(x)=3(x-1)(x-3).
  • Para x<1, escolhe-se x=0: y'(0)=9>0 → crescente à esquerda de 1.
  • Entre 1 e 3, escolhe-se x=2: y'(2)=3(1)(-1)=-3<0 → decrescente entre 1 e 3.
  • Para x>3, escolhe-se x=4: y'(4)=9>0 → crescente à direita de 3.
    Isso confirma: em x=1 há mudança crescente→decrescente (máximo local) e em x=3 mudança decrescente→crescente (mínimo local).
Observação sobre extremos globais: como é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder positivo, tem y(x)\to -\infty quando x\to -\infty e y(x)\to +\infty quando x\to +\infty. Portanto não há máximo global nem mínimo global (os extremos encontrados são locais).

Resposta

Máximo local em (1,-13).
Mínimo local em (3,-17).
Não existe máximo global nem mínimo global.

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