Integrar
\int \operatorname{sec} ^{2}(x / 2) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sec}^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right).
  • Quer-se uma primitiva (ou antiderivada), que incluirá a constante de integração C.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar): a derivada da função \tan u em relação a u é
\frac{d}{du}\tan u=\operatorname{sec}^{2}u.
Pequena demonstração rápida para fixar: \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Aplicando a regra do quociente,
\frac{d}{du}\tan u=\frac{\cos u\cdot\cos u-(-\sin u)\cdot\sin u}{\cos^{2}u}=\frac{\cos^{2}u+\sin^{2}u}{\cos^{2}u}=\frac{1}{\cos^{2}u}=\operatorname{sec}^{2}u.
Isso mostra que uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}u é \tan u.

Passo 3

Porém aqui o argumento de \operatorname{sec}^{2} é \dfrac{x}{2}, não apenas x. Para tratar isso, use substituição (u-substituição). Defina
u=\frac{x}{2}.
Então
du=\frac{1}{2}\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=2\,du.

Passo 4

Faça a troca na integral:
\int \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx=\int \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot 2\,du=2\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.
Agora aplicamos o fato do Passo 2: uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}(u) é \tan u. Portanto
2\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du=2\tan u + C.

Passo 5

Volte à variável original x substituindo u=\dfrac{x}{2}:
2\tan u + C = 2\tan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivando 2\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right) usando a regra da cadeia obtém-se
2\cdot\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}=\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right),
que é exatamente o integrando. Dica geral: para \int \operatorname{sec}^{2}(a x)\,dx a primitiva é \dfrac{1}{a}\tan(a x)+C; aqui a=\dfrac{1}{2} \dfrac{1}{1/2}\tan(x/2)=2\tan(x/2).

Resposta

2\tan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C

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