[1,0] Deduzir uma fórmula para extração de raízes cúbicas.

Passo 1

O enunciado pede que eu deduza uma fórmula para extração de raízes cúbicas. Ou seja, dado um número real a (normalmente a>0), quero uma fórmula prática para obter \sqrt[3]{a}, isto é, um procedimento que gera aproximações para o número r tal que
r^{3}=a.
Informações dadas (implícitas):
  • O valor a ser extraído é um número real a.
  • O objetivo é uma fórmula útil na prática (para usar à mão na prova), não necessariamente a solução de uma equação cúbica geral com todas as raízes complexas.

Passo 2

Ideia básica: transformar a busca de \sqrt[3]{a} numa raiz da função f(x)=x^{3}-a e aplicar o método de Newton (método das tangentes), que é um método padrão e eficiente para extrair raízes numericamente.
Defino a função
f(x)=x^{3}-a.
A derivada é
f'(x)=3x^{2}.
A regra de Newton para encontrar uma raiz de f dá a iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Substituindo f e f':
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{3}-a}{3x_{n}^{2}}.

Passo 3

Agora faço uma álgebra simples para escrever essa fórmula numa forma mais prática (sem fração complexa no numerador). Começo simplificando o termo:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{3}-a}{3x_{n}^{2}} = x_{n}-\frac{x_{n}}{3}+\frac{a}{3x_{n}^{2}}.
Agrupando termos:
x_{n+1}=\frac{2x_{n}}{3}+\frac{a}{3x_{n}^{2}}.
Escrevendo com denominador comum:
x_{n+1}=\frac{2x_{n}+a/x_{n}^{2}}{3}.
Essa é a fórmula iterativa prática para extrair a raiz cúbica de a.
Explicação das variáveis:
  • a é o número cuja raiz cúbica se quer calcular.
  • x_{n} é a aproximação atual (na iteração n).
  • x_{n+1} é a nova aproximação obtida pela fórmula.

Passo 4

Interpretação do método (como usar na prova):
  1. Escolhe-se um chute inicial x_{0} (um número próximo da raiz); por exemplo:
    • se a\ge 1, pode-se pegar x_{0}=a ou x_{0}= o inteiro cujo cubo está mais próximo de a;
    • se 0<a<1, tomar x_{0}=1 costuma funcionar bem.
  2. Aplica-se repetidamente
x_{n+1}=\frac{2x_{n}+a/x_{n}^{2}}{3}
até a diferença |x_{n+1}-x_{n}| ser pequena o suficiente.
Por que esse método converge rápido? Resumo intuitivo e uma estimativa do erro:
  • Newton tem convergência quadrática quando o chute inicial está razoavelmente próximo da raiz correta. Isso quer dizer que o erro roughly se “eleva ao quadrado” a cada iteração, então converge muito rápido.
  • Mais formalmente, se r=\sqrt[3]{a} e e_{n}=x_{n}-r é pequeno, usando expansão de Taylor obtém-se uma estimativa
e_{n+1}\approx -\frac{f''(r)}{2f'(r)}\,e_{n}^{2}.
No nosso caso f'(x)=3x^{2} e f''(x)=6x, avaliando em r
e_{n+1}\approx -\frac{6r}{2\cdot 3r^{2}}\,e_{n}^{2} = -\frac{1}{r}\,e_{n}^{2}.
Isso mostra a convergência quadrática: o módulo do erro cai aproximadamente como e_{n}^{2}/|r|. Em linguagem simples: duas casas corretas tornam-se quatro, depois oito, etc., muito rápido.

Passo 5

Sugestões práticas na prova (para calcular à mão, sem muito trabalho):
  • Escolha x_{0} simples (inteiro) próximo da raiz. Ex.: para a=5 escolha x_{0}=2 (pois 1^{3}=1 e 2^{3}=8, 2 é mais perto).
  • Fazer 2 ou 3 iterações geralmente já dá uma precisão suficiente para prova; cada iteração exige calcular a/x_{n}^{2}, somar com 2x_{n} e dividir por 3.
  • Para facilitar contas à mão, trabalhe com frações decimais com poucas casas (duas ou três) e arredonde só no final.

Passo 6

Exemplo prático: calcular \sqrt[3]{5} usando a fórmula (vou mostrar as contas de um jeito que você consiga reproduzir sem calculadora complicada).
Escolho x_{0}=2.
Cálculo de x_{1}:
x_{1}=\frac{2x_{0}+a/x_{0}^{2}}{3} =\frac{2\cdot 2+\dfrac{5}{2^{2}}}{3} =\frac{4+\dfrac{5}{4}}{3} =\frac{4+1,\!25}{3} =\frac{5,\!25}{3}=1,\!75.
Cálculo de x_{2}:
x_{2}=\frac{2\cdot 1,\!75+\dfrac{5}{(1,\!75)^{2}}}{3}.
Calcule (1,\!75)^{2}=3,\!0625. Então 5/3,\!0625\approx 1,\!632653061.
x_{2}\approx\frac{3,\!5+1,\!632653061}{3}=\frac{5,\!132653061}{3}\approx 1,\!7108843537.
Cálculo de x_{3} (uma iteração mais):
(1,\!7108843537)^{2}\approx 2,\!927081\quad\Rightarrow\quad \frac{5}{2,\!927081}\approx 1,\!708,
x_{3}\approx\frac{2\cdot 1,\!7108843537+1,\!708}{3}\approx\frac{3,\!4217687074+1,\!708}{3}\approx\frac{5,\!1297687074}{3}\approx 1,\!7099229025.
A raiz real exata é \sqrt[3]{5}\approx 1,\!7099759467. Já com 3 iterações chegamos a 1,\!7099\ldots, muito próximo.

Passo 7

Observações finais e dicas para a prova:
  • A fórmula
x_{n+1}=\frac{2x_{n}+a/x_{n}^{2}}{3}
é a forma mais usada para extrair raiz cúbica por iteração (é o Newton aplicado a x^{3}-a).
  • Se a for negativo, a mesma fórmula funciona com aproximações x_{n} negativas (pois a raiz cúbica de número negativo é negativa).
  • Para perfeitos cubos ( a=b^{3}) escolha x_{0}=b e a fórmula já mantém x_{n}=b (convergência imediata).
  • Em prova, descreva o método, deduza a fórmula como fiz aqui e mostre 1–2 iterações como exemplo.

Resposta

x_{n+1}=\frac{2x_{n}+\dfrac{a}{x_{n}^{2}}}{3},\qquad\text{onde }x_{0}\text{ é um chute inicial e }x_{n}\to\sqrt[3]{a}.é

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