Determinar todas as raízes de
, considerando que
é uma das raízes.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as raízes do polinômio
sabendo que
é uma das raízes.
Informações dadas e o que precisamos:
- O polinômio tem coeficientes reais.
- Uma raiz complexa dada é
. - Pedir todas as raízes (reais e complexas, com multiplicidade se houver).
Passo 2
Observação simples e útil: o polinômio não tem termo constante (o termo independente é zero). Portanto
é raiz. Isso vem do fato de que todo termo tem fator
, então podemos fatorar
fora:
Agora basta encontrar as raízes do polinômio de grau 5 dentro do parêntese.
Passo 3
Como o polinômio tem coeficientes reais, se um número complexo
(
) é raiz, então o seu conjugado
também é raiz. Esse é um teorema básico: raízes complexas de polinômios com coeficientes reais ocorrem em pares conjugados.
Dado que
é raiz, o conjugado
também é raiz.
Construímos o polinômio quadrático cujo conjunto de raízes é exatamente esse par conjugado. Se as raízes são
e
, então o quadrático é
Aqui
e
Logo o fator quadrático associado ao par é
Passo 4
Vamos dividir o polinômio de grau 5
pelo quadrático
. A divisão pode ser feita por divisão longa; mostro os passos essenciais:
- Começamos pelo termo de maior grau: para eliminar
multiplicamos por , obtendo . Subtraindo de fica:
Juntando os termos restantes obtemos o novo resto
.
- Para eliminar
multiplicamos por , obtendo . Subtraindo desse resto:
Com o termo constante fica
.
- Para eliminar
multiplicamos por , obtendo , que é exatamente o resto final. Portanto a divisão é exata.
Assim encontramos
Recordando a fatoração do Passo 2:
Passo 5
Agora fatoramos o polinômio cúbico
Usamos o Teorema das Raízes Racionais (possíveis raízes racionais são divisores de
:
) e testamos:
-
, não é zero. -
. Achamos uma raiz racional .
Como
é raiz, dividimos
por
. Usando divisão sintética (coeficientes
) obtemos o quociente
(mostro o procedimento mental: trazer 1, multiplicar por 2 dá 2, somar ao 0 dá 2, multiplicar por 2 dá 4, somar a
dá 2, multiplicar por 2 dá 4, somar a
dá 0).
Portanto
Passo 6
Resolvemos a quadrática
com a fórmula quadrática. O discriminante é
Como
, as raízes são complexas:
Passo 7
Juntando tudo, as raízes do polinômio original são:
- a raiz que vimos por inspeção:
; - as duas raízes conjugadas dadas/derivadas:
e ; - a raiz racional encontrada:
; - as duas raízes da última quadrática:
e .
Dica rápida para a prova: procurar sempre fatores óbvios (como fator
quando o termo constante é zero), usar conjugado para raízes complexas com coeficientes reais, tentar possíveis raízes racionais pequenas antes de tentar métodos mais pesados, e dividir polinômios passo a passo (divisão longa ou sintética) mantendo a calma.