[1,5] Determinar todas as raízes de x^{6}-3 x^{5}+3 x^{4}+2 x^{3}+2 x^{2}-20 x, considerando que (3-i \sqrt{11}) / 2 é uma das raízes.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as raízes do polinômio
x^{6}-3x^{5}+3x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-20x,
sabendo que \dfrac{3-i\sqrt{11}}{2} é uma das raízes.
Informações dadas e o que precisamos:
  • O polinômio tem coeficientes reais.
  • Uma raiz complexa dada é \dfrac{3-i\sqrt{11}}{2}.
  • Pedir todas as raízes (reais e complexas, com multiplicidade se houver).

Passo 2

Observação simples e útil: o polinômio não tem termo constante (o termo independente é zero). Portanto x=0 é raiz. Isso vem do fato de que todo termo tem fator x, então podemos fatorar x fora:
x^{6}-3x^{5}+3x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-20x = x\bigl(x^{5}-3x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+2x-20\bigr).
Agora basta encontrar as raízes do polinômio de grau 5 dentro do parêntese.

Passo 3

Como o polinômio tem coeficientes reais, se um número complexo a+bi ( b\neq0) é raiz, então o seu conjugado a-bi também é raiz. Esse é um teorema básico: raízes complexas de polinômios com coeficientes reais ocorrem em pares conjugados.
Dado que \dfrac{3-i\sqrt{11}}{2} é raiz, o conjugado
\frac{3+i\sqrt{11}}{2}
também é raiz.
Construímos o polinômio quadrático cujo conjunto de raízes é exatamente esse par conjugado. Se as raízes são r e \overline{r}, então o quadrático é
x^{2}-(r+\overline{r})x + r\overline{r}.
Aqui r+\overline{r}=3 e
r\overline{r}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{11}}{2}\right)^{2}=\frac{9+11}{4}=\frac{20}{4}=5.
Logo o fator quadrático associado ao par é
x^{2}-3x+5.

Passo 4

Vamos dividir o polinômio de grau 5
g(x)=x^{5}-3x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+2x-20
pelo quadrático x^{2}-3x+5. A divisão pode ser feita por divisão longa; mostro os passos essenciais:
  1. Começamos pelo termo de maior grau: para eliminar x^{5} multiplicamos x^{2}-3x+5 por x^{3}, obtendo x^{5}-3x^{4}+5x^{3}. Subtraindo de g(x) fica:
(x^{5}-3x^{4}+3x^{3}) - (x^{5}-3x^{4}+5x^{3}) = -2x^{3}.
Juntando os termos restantes obtemos o novo resto -2x^{3}+2x^{2}+2x-20.
  1. Para eliminar -2x^{3} multiplicamos x^{2}-3x+5 por -2x, obtendo -2x^{3}+6x^{2}-10x. Subtraindo desse resto:
(-2x^{3}+2x^{2}+2x) - (-2x^{3}+6x^{2}-10x) = -4x^{2}+12x.
Com o termo constante fica -4x^{2}+12x-20.
  1. Para eliminar -4x^{2} multiplicamos x^{2}-3x+5 por -4, obtendo -4x^{2}+12x-20, que é exatamente o resto final. Portanto a divisão é exata.
Assim encontramos
g(x)=(x^{2}-3x+5)\bigl(x^{3}-2x-4\bigr).
Recordando a fatoração do Passo 2:
x^{6}-3x^{5}+3x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-20x = x\,(x^{2}-3x+5)\,(x^{3}-2x-4).

Passo 5

Agora fatoramos o polinômio cúbico
h(x)=x^{3}-2x-4.
Usamos o Teorema das Raízes Racionais (possíveis raízes racionais são divisores de -4: \pm1,\pm2,\pm4) e testamos:
  • h(1)=1-2-4=-5, não é zero.
  • h(2)=8-4-4=0. Achamos uma raiz racional x=2.
Como x=2 é raiz, dividimos h(x) por x-2. Usando divisão sintética (coeficientes 1,0,-2,-4) obtemos o quociente x^{2}+2x+2 (mostro o procedimento mental: trazer 1, multiplicar por 2 dá 2, somar ao 0 dá 2, multiplicar por 2 dá 4, somar a -2 dá 2, multiplicar por 2 dá 4, somar a -4 dá 0).
Portanto
x^{3}-2x-4=(x-2)(x^{2}+2x+2).

Passo 6

Resolvemos a quadrática x^{2}+2x+2 com a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot2=4-8=-4.
Como \Delta=-4, as raízes são complexas:
x=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{-2\pm 2i}{2}=-1\pm i.

Passo 7

Juntando tudo, as raízes do polinômio original são:
  • a raiz que vimos por inspeção: x=0;
  • as duas raízes conjugadas dadas/derivadas: x=\dfrac{3-i\sqrt{11}}{2} e x=\dfrac{3+i\sqrt{11}}{2};
  • a raiz racional encontrada: x=2;
  • as duas raízes da última quadrática: x=-1+i e x=-1-i.
Dica rápida para a prova: procurar sempre fatores óbvios (como fator x quando o termo constante é zero), usar conjugado para raízes complexas com coeficientes reais, tentar possíveis raízes racionais pequenas antes de tentar métodos mais pesados, e dividir polinômios passo a passo (divisão longa ou sintética) mantendo a calma.

Resposta

0
2
\dfrac{3-i\sqrt{11}}{2}
\dfrac{3+i\sqrt{11}}{2}
-1+i
-1-i

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