Considerar
definida como:
para
para
; e
para
. Determinar a função
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fornece a função
definida por partes: -
para . -
para . -
para .
-
- O intervalo de interesse indicado é
. - O que se pede: determinar a função
para no intervalo .
Passo 2
Observação sobre a estrutura do problema (sem resolver ainda): a função
muda de expressão no ponto
. Como a integral é de
até
, o valor de
vai depender se
está em
ou se
. Portanto precisamos tratar esses dois casos separadamente.
Passo 3
Regra importante que vamos usar (explicação didática):
- Se uma função é dada por partes e queremos
e há um ponto com onde a expressão de muda, então Isso é só dividir a integral nos trechos onde a função tem expressão constante/mais simples. - Também usaremos a regra básica de integração (regra da potência): para
, Em particular, com obtemos . - E a integral de uma constante
em relação a é
Passo 4
Caso 1:
.
Aqui, para todo
entre
e
vale
. Então
Usando a regra da potência com
,
Portanto, para
tem-se
.
Passo 5
Caso 2:
(ou simplesmente
dentro do intervalo dado).
Agora a integral de
até
atravessa o ponto onde
muda em
. Então usamos a soma das integrais:
Para
temos
, e para
temos
. Então
E
Somando,
Portanto, para
(incluindo
por continuidade) tem-se
.
Passo 6
Verificações rápidas e comentários pedagógicos:
- Em
: , coerente com . - Em
: pelo primeiro caso ; pelo segundo caso . São iguais, então é contínua em . - Derivando
: para e para . Esses derivadas coincidem com em cada trecho, conforme o Teorema Fundamental do Cálculo (quando é contínua em cada intervalo).