[0,8] Considerar f definida como: f(t)=0 para t<0 ; f(t)=t para 0 \leq t \leq 1; e f(t)=4 para t>1. Determinar a função F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece a função f definida por partes:
    • f(t)=0 para t<0.
    • f(t)=t para 0 \leq t \leq 1.
    • f(t)=4 para t>1.
  • O intervalo de interesse indicado é [0,8].
  • O que se pede: determinar a função F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dtpara x no intervalo [0,8].

Passo 2

Observação sobre a estrutura do problema (sem resolver ainda): a função f muda de expressão no ponto t=1. Como a integral é de 0 até x, o valor de F(x) vai depender se x está em [0,1] ou se x>1. Portanto precisamos tratar esses dois casos separadamente.

Passo 3

Regra importante que vamos usar (explicação didática):
  • Se uma função é dada por partes e queremos \int_{a}^{b} f(t)\,dt e há um ponto c com a\le c\le b onde a expressão de f muda, então \int_{a}^{b} f(t)\,dt=\int_{a}^{c} f(t)\,dt+\int_{c}^{b} f(t)\,dt.Isso é só dividir a integral nos trechos onde a função tem expressão constante/mais simples.
  • Também usaremos a regra básica de integração (regra da potência): para n\neq -1, \int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.Em particular, com n=1 obtemos \int t\,dt=\dfrac{t^{2}}{2}+C.
  • E a integral de uma constante k em relação a t é \int k\,dt = k t + C.

Passo 4

Caso 1: 0 \leq x \leq 1.
Aqui, para todo t entre 0 e x vale f(t)=t. Então
F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt=\int_{0}^{x} t\,dt.
Usando a regra da potência com n=1,
\int_{0}^{x} t\,dt=\Big[\frac{t^{2}}{2}\Big]_{0}^{x}=\frac{x^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}.
Portanto, para 0 \leq x \leq 1 tem-se F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Caso 2: 1 < x \leq 8 (ou simplesmente x>1 dentro do intervalo dado).
Agora a integral de 0 até x atravessa o ponto onde f muda em t=1. Então usamos a soma das integrais:
F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt=\int_{0}^{1} f(t)\,dt+\int_{1}^{x} f(t)\,dt.
Para 0\le t\le1 temos f(t)=t, e para t>1 temos f(t)=4. Então
\int_{0}^{1} f(t)\,dt=\int_{0}^{1} t\,dt=\Big[\frac{t^{2}}{2}\Big]_{0}^{1}=\frac{1^{2}}{2}-0=\frac{1}{2}.
E
\int_{1}^{x} f(t)\,dt=\int_{1}^{x} 4\,dt = \Big[4t\Big]_{1}^{x}=4x-4.
Somando,
F(x)=\frac{1}{2} + (4x-4)=4x - \frac{7}{2}.
Portanto, para 1 \leq x \leq 8 (incluindo x=1 por continuidade) tem-se F(x)=4x-\dfrac{7}{2}.

Passo 6

Verificações rápidas e comentários pedagógicos:
  • Em x=0: F(0)=\dfrac{0^{2}}{2}=0, coerente com \int_{0}^{0}f=0.
  • Em x=1: pelo primeiro caso F(1)=\dfrac{1}{2}; pelo segundo caso F(1)=4\cdot1-\dfrac{7}{2}=\dfrac{8-7}{2}=\dfrac{1}{2}. São iguais, então F é contínua em 1.
  • Derivando F: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)=x para 0<x<1 e \dfrac{d}{dx}\!\left(4x-\dfrac{7}{2}\right)=4 para x>1. Esses derivadas coincidem com f(x) em cada trecho, conforme o Teorema Fundamental do Cálculo (quando f é contínua em cada intervalo).

Resposta

F(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}}{2}, & 0 \leq x \leq 1,\\[6pt] 4x-\dfrac{7}{2}, & 1 \leq x \leq 8. \end{cases}]

Exercícios relacionados